如何用数学公式算出「最少调查人数」？

核心逻辑：用少量样本推测全体，需要算清楚至少抽多少人才能保证结果靠谱

1. 为什么要算样本量？

假设你想知道全班同学的平均身高，你会：
不可能量所有人（费时费力）
也不能只量 1 个人（误差太大）
所以需要找一个「最少人数」，让结果既快又准

关键公式：

样本量 n = (Z² * p*(1-p)) / E²

置信区间 = 样本统计量 ± Z * 标准误差

Z：置信水平对应的 Z 值（95% 对应 1.96）
p：预估比例
E：允许误差

2. 公式里的 4 个变量（用追女生举例）

假设你想知道全校男生喜欢隔壁班女生的比例：

变量 解释（追女生版） 统计术语

可信度系数 你有多大把握结果正确（比如 95% 信心，对应 1.96） ——> Z 值
预估比例 你猜大概有多少男生喜欢她（如果完全不知道，就猜 50%） ——> p 值
允许误差 你能接受的结果偏差（比如允许上下 5% 的误差） ——> E 值

样本量 至少要问多少男生才能得到靠谱结果 ——> n 样本量

3. 具体计算步骤（用全校男女比例举例）

问题：想知道全校男生占比，要求误差不超过 ±5%，可信度 95%

可信度系数 Z值：95% 可信度对应 1.96（记住这个数就行）
预估比例 p值：假设不知道，就填 50%（0.5）
允许误差 E值：±5% 即 0.05

计算：
样本量 = (1.96 × 1.96 × 0.5 × 0.5) ÷ (0.05 × 0.05) ≈ 385人

结论： 至少要随机问 385 人，结果才有 95% 的概率和真实值误差不超过 5%
置信区间：样本比例 ±5%（如样本显示 60%，则真实值有 95% 概率在 55%-65% 之间）

4. 常见误区

误区 1：总人数越多，样本量要越大
✅ 错！置信区间宽度由样本量决定，与总体规模无关（除非总体很小）
误区 2：样本量越大越好
✅ 错！置信区间的边际收缩效应：
从 385 人增至 1000 人，误差仅从 ±5% 缩至 ±3%
但成本可能翻倍

5. 现实中的应用

市场调研：某品牌手机想知道用户满意度，误差要求 ±3% → 样本量≈1067 人

人口普查：国家统计局用分层抽样（按城乡 / 年龄分组），每个组单独算样本量

医学试验：新药有效性测试，允许误差更小（比如 ±1%）→ 样本量≈9604 人

总结：算样本量就像买保险，既要保证结果靠谱（可信度），又不能花冤枉钱（样本量）。公式背后是数学保证，只要参数选对，就能用最少的钱得到足够准的答案。