二进制有符号数补码及运算

原创于 2025-08-27 17:30:38 发布 · 1k 阅读

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二进制有符号数补码

符号位定义
可表示的数值范围
补码求原码
有符号二进制补码求十进制

二进制补码标准定义中，符号位只有一位--最高位的那一位。特殊的，当补码位数扩展时高位会填充原符号位的值。如-3用4位补码表示为1101，扩展到8位时-3的补码表示为11111101，虽然符号位进行了扩展，但是按补码的标准定义，只有最高位为符号位，其余为数值位，或者说是符号扩展的冗余位。

对于N位有符号二进制数，原码可表示的范围为-2⁽ⁿ⁻¹⁾-1～2⁽ⁿ⁻¹⁾-1，补码可表示的范围为-2⁽ⁿ⁻¹⁾～2⁽ⁿ⁻¹⁾-1。例如，对于4位有符号二进制数，原码可以表示的范围为-7～7,补码可以表示的范围为-8～7。对于4位有符号二进制数，最大的正数为0111（补码），即7；最小的负数为1000（补码），即-8；1111（补码）为-1。

由于同等位宽的有符号二进制数原码和补码表示的数值范围有差异，由补码求原码时可能存在原码表示范围不能表示补码对应的值，因此值得注意的是，由负数补码转换为原码时可以先对符号位进行扩展（此操作不影响数值大小），一位即可，然后再求原码。

对于一个有符号数，怎样根据补码求十进制数？

（1）先根据补码求原码，求出原码后可知十进制数。例如有符号数1000（补码）的原码为11000，所以十进制为-8。有符号数0110（补码）的原码为0110，所以十进制值为6。

（2）直接由补码求十进制。举例说明，有符号数1110（补码）＝-1*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰＝-8+4+2+0＝-2；有符号数0110（补码）＝0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰＝0+4+2+0＝6；有符号数11101（补码）＝-1*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰＝-16+8+4+0+1＝-3。

二进制有符号数加减法

运算法则
判断有无溢出

两个二进制有符号数进行运算时先要通过扩展符号位（不影响数值大小）把位宽对齐，例如：1111（-1的补码）+10（-2的补码），位宽不一致，因此先将-2的补码扩展为4位补码，即1110（-2的补码），1111与1110相加为11101，符号位进位舍去（没有溢出）为1101（-3的补码）。计算过程中虽然符号位有进位，但是并未溢出，后续分析。

如何判断有无溢出？核心就是符号位和数值位最高位的进位情况是否一致，一致则认为无溢出，否则为溢出。在上述计算中数值位最高位和符号位进位都为1，所以无溢出，符号位进位舍弃。再例如1011（-5补码）+1100（-4补码）的过程中，数值位最高位的进位为0，符号位进位为1，二者不同，因此可以判断为溢出，计算结果的符号位进位不能舍去，结果为10111（-9的补码）。

3位有符号二进制数110（-2的补码）+010（2的补码）=1000，计算过程中符号位和数值位最高位都产生了进位1，因此无溢出，符号位进位直接舍弃，所以计算结果为000。

总的来说，两个二进制有符号数进行运算时，可以先计算，根据计算过程判断有无溢出，有溢出则符号位进位不能省，无溢出则可以直接丢弃符号位进位。