动态规划「入门」

动态规划

动态规划与完全搜索（枚举/回溯）、分治、贪心，可以说是最具有挑战性的技巧。你至少需要对完全搜索有所了解，接下来准备好来看到许多回溯法。

动态规划的关键点在于：

1. 明确问题状态
2. 明确当前问题与子问题之间的状态转换

事实上，较小输入能够借助回溯解决问题。从回溯过渡至动态规划会更简单一些。因此如果你是初学动态规划，那么从「自顶向下」动态规划（借助备忘进行回溯）开始着手。

动态规划通常解决「最值」问题，如果你看到题目中有描述，最小化某值或最大化某值或方案数，那么很高概率是一道动态规划题目。绝大部分的动态规划题目只需要得到最值或方案数，也有部分需要将解决方案逐步输出，需要跟踪处理问题。

入门概念

入门题

UVa11450 Wedding Shopping

problem：
有若干种类型服饰（3 顶帽子，2 个眼镜，4 双鞋子……）以及有限的预算，任务是将每类服饰购买一种。总花费不超过预算且尽可能地使花费总额最高。

input：
两个整数 $1\le m\le 200,1\le c\le 20$，预算 $m$ 元，服饰种类 $c$ 种，接下来给出所有服饰价格。

每行表示一类服饰的所有价格，至多 $k(\le 20)$ 个，其中第一个数字表示共有 $k$ 种价格，如 3 6 4 8 表示该服饰有 3 种价格，价格分别为 6 4 8。

output：
每类服饰各购买一种样式且花费没有超过预算的最大值。如果没有方案，输出 “no solution”。

sample input：

20 3
3 6 4 8
2 5 10
4 1 5 3 5

sample output：

19

---

其中一种解决方案如下所示（下划线所标表示购买该样式的服饰），这并不是唯一一种，还可以选择 $(6+10+3)$ 或 $(4+10+5)$，均是最优解。

6 4 8
5 10
1 5 3 5

---

方法一：贪心（Wrong Answer）

因为想要花费最高，最容易想到的一种贪心策略是对于每种服饰，挑选最贵的那个价格。对于刚才的数据能够完美得到结果，并且时间复杂度也优秀：$20+20+...+20$ 最坏也是 $20\times 20=400$。但是无法得到全部的正解。

比如在 $m=12,c=3$ 的情况下：

6 4 8
5 10
1 5 3 5

剩余 $12-8=4$ 元，剩下的钱不足以购买其他服饰了。最优解是 $4+5+3=12$ 或者 $6+5+1=12$。

---

方法二：分治（Wrong Answer）
本题不适用分治技巧。

---

方法三：完全搜索（Time Limit Exceeded）

编写递归函数 dp(clothes, budget)，表示当前第 clothes 类服饰，预算为 budget 情况下，应选择哪一个价位进行购买。

为什么递归需要这样做？思考一个问题，起初是处于什么〈处境〉？

• 我拥有 budget 元预算，要去买服饰。
• 所有种类的服饰肯定都是要买的，那先买谁的顺序都没有关系。
• 那么假设我正在查看第 clothes