【剑指offer】圆环中有n个数，每次删除第m个，求最后剩下得数（约瑟夫环问题）

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一、题目描述：

0,1,…n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始,每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈（如图所示)，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。
在这里插入图片描述

二、题目解析

本题就是有名的约瑟夫环问题。我们介绍两种解题方法:一种方法是用环形链表模拟圆圈的经典解法;第二种方法是分析每次被删除的数字的规律并直接计算出圆圈中最后剩下的数字。
由于第一种方法的时间复杂度和空间复杂度太高了，我们一般不建议使用，在这里主要介绍第二种方法，也是面试官最想要的结果。
寻找规律：
**（1）**、首先我们定义一个关于n和m的方程八n,m)，表示每次在n个数字0,1,…,n-1中删除第m个数字最后剩下的数字。
**（2）**、在这n个数字中，第一个被删除的数字是(m-1)%n。为了简单起见，我们把(m-1)%n记为 k，那么删除k之后剩下的 n-1个数字为0,1,…,k-1,k+1.…,n-1，并且下一次删除从数字k+1开始计数。相当于在剩下的序列中，k+1排在最前面，从而形成k+1,…,n-1,0,1,…,k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从О开始的连续序列)，因此该函数不同于前面的函数，记为f(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字八n,m)一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字，即八n, m)=f(n-1 ,m)。
**（3）**、接下来我们把剩下的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,1,…,k-1进行映射，映射的结果是形成一个0～n-2的序列。
在这里插入图片描述
那么映射后的数字是(x-k-1)%n。该映射的逆映射是p '(x)=(x+k+1)%n。
**（4）**、由于映射之后的序列和最初的序列具有同样的形式，即都是从О开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为八n-1, m)。根据我们的映射规则，映射之前的序列中最后剩下的数字f(n-1,m)=p '[fn-1,m)]=[fn-1,m)+k+1]%n，把 k=(m-1)%n代入得到f(n, m)=f(n-1,m)=[(n-1, m)+m]%n。
**（5）**、经过上面复杂的分析，我们终于找到了一个递归公式。要得到n个数字的序列中最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列中最后剩下的数字，并以此类推。当n=1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为:
在这里插入图片描述
这个公式无论是用递归还是用循环，都很容易实现。下面基于循环实现一下。

三、算法实现

import java.util.Scanner;

public class Main {
    static int findLastNumber(int n,int m){
        if(n<1||m<1){
            System.out.println("输入错误！");
        }
        int lastNumber=0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            lastNumber=(lastNumber+m)%i;
        }
        return lastNumber;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入数字的范围：");
        int n=scanner.nextInt();
        System.out.println("请输入每次要删除第几个：");
        int m=scanner.nextInt();
     int lastNumber=   findLastNumber(n,m);
        System.out.println("圆圈中最后剩下的数字是："+lastNumber);

    }
}