并查集（Disjoint-Set Union）详解

并查集是一种处理不相交集合的合并与查询问题的数据结构，主要支持两种操作：

1. ​Find​：查询元素所属集合
2. ​Union​：合并两个集合

基本概念

数据结构表示

通常用树形结构表示集合，每个集合用一棵树表示，树的根节点作为该集合的代表元素。

核心操作

1. ​初始化​：每个元素自成一个集合，父节点指向自己
2. ​查找(Find)​​：找到元素的根节点（代表元素）
3. ​合并(Union)​​：将两个集合合并为一个

实现方式

基础实现（无优化）

class DSU:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
    
    def find(self, x):
        while self.parent[x] != x:
            x = self.parent[x]
        return x
    
    def union(self, x, y):
        x_root = self.find(x)
        y_root = self.find(y)
        if x_root != y_root:
            self.parent[y_root] = x_root

优化技术

1. ​路径压缩（Path Compression）​​

   • 在Find操作时将路径上的所有节点直接指向根节点

   def find(self, x):
       if self.parent[x] != x:
           self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
       return self.parent[x]

2. ​按秩合并（Union by Rank）​​

   • 总是将较小的树合并到较大的树下

   def __init__(self, n):
       self.parent = list(range(n))
       self.rank = [0] * n
   
   def union(self, x, y):
       x_root = self.find(x)
       y_root = self.find(y)
       if x_root == y_root:
           return
       if self.rank[x_root] < self.rank[y_root]:
           self.parent[x_root] = y_root
       else:
           self.parent[y_root] = x_root
           if self.rank[x_root] == self.rank[y_root]:
               self.rank[x_root] += 1

时间复杂度分析

操作	无优化	仅路径压缩	仅按秩合并	两者结合
Find	O(n)	O(α(n))	O(log n)	O(α(n))
Union	O(n)	O(α(n))	O(log n)	O(α(n))

其中α(n)是反阿克曼函数，增长极其缓慢，可以认为是常数时间。

应用场景

1. 连通性问题（如判断图中两点是否连通）
2. 最小生成树算法（Kruskal算法）
3. 动态连通性问题
4. 图像处理中的区域合并
5. 社交网络中的好友关系处理

示例代码（完整实现）

class DSU:
    def __init__(self, n):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n
    
    def find(self, x):
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]
    
    def union(self, x, y):
        x_root = self.find(x)
        y_root = self.find(y)
        if x_root == y_root:
            return
        if self.rank[x_root] < self.rank[y_root]:
            self.parent[x_root] = y_root
        else:
            self.parent[y_root] = x_root
            if self.rank[x_root] == self.rank[y_root]:
                self.rank[x_root] += 1

扩展功能

1. ​集合大小跟踪​：记录每个集合的大小
2. ​集合计数​：维护当前集合总数
3. ​撤销操作​：支持回滚操作

并查集因其高效性和简洁性，在算法竞赛和实际工程中都有广泛应用。