AlbertDarren的博客

1.二分法1.1 定义考察有根区间[a,b],取中点x0=(a+b)/2将它分成两半,假设中点x0不是f(x)的零点,然后进行根的搜索,即检查考察有根区间[a,b],取中点x_0=(a+b)/2将它分成两半,假设中点x_0不是f(x)的零点,然后进行根的搜索,即检查考察有根区间[a,b],取中点x0​=(a+b)/2将它分成两半,假设中点x0​不是f(x)的零点,然后进行根的搜索,即检查f(x0)与f(a)是否同号,如果同号，说明所求的根x∗在x0的右侧，这时令a1=x0,b1=b;否则x∗必在x0的

1.求积公式余项1.1 定义R[f]=∫ab ⁣ ⁣ ⁣f(x)dx−∑k=0nAkf(xk)=Kf(m+1)(η),(1)R[f]=\int_a^b\!\!\!f(x)\mathrm{d}x-\sum_{k=0}^nA_kf(x_k)=Kf^{(m+1)}(\eta ),(1)R[f]=∫ab​f(x)dx−k=0∑n​Ak​f(xk​)=Kf(m+1)(η),(1)其中K为不依赖f(x)的待定参数,η∈(a,b).其中K为不依赖f(x)的待定参数,\eta \in (a,b).其中K为不依赖f(x

1.正交多项式设φn(x)是[a,b]上首项系数an≠0的n次多项式，ρ(x)为[a,b]上的权函数.设\varphi _n(x)是[a,b]上首项系数a_n\neq 0的n次多项式，\rho (x)为[a,b]上的权函数.设φn​(x)是[a,b]上首项系数an​​=0的n次多项式，ρ(x)为[a,b]上的权函数.如果多项式序列{φn(x)}0∞\{\varphi _n(x)\}_0^{\infty}{φn​(x)}0∞​满足关系式(φj,φk)=∫ab ⁣ ⁣ ⁣ρ(x)φj(x)φk(x)dx

1.均差定义称f[x0,xk]=f(xk)−f(x0)xk−x0为函数f(x)关于点x0,xk的一阶均差f[x_0,x_k]=\dfrac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}为函数f(x)关于点x_0,x_k的\textbf{一阶均差}f[x0​,xk​]=xk​−x0​f(xk​)−f(x0​)​为函数f(x)关于点x0​,xk​的一阶均差f[x0,x1,xk]=f[x0,xk]−f[x0,x1]xk−x1称为f(x)的二阶均差.f[x_0,x_1,x_k]=\dfrac{f[x_0,x_

1.拉格朗日插值多项式首先给出，n次插值基函数定义若n次多项式lj(x)(j=1,2,…,n)在n+1个节点x0<x1<…<xn上满足条件若n次多项式l_j(x)(j=1,2,\ldots,n)在n+1个节点x_0<x_1<\ldots<x_n上满足条件若n次多项式lj​(x)(j=1,2,…,n)在n+1个节点x0​<x1​<…<xn​上满足条件lj(xk)={1,k=j,j,k=0,1,…,n,0,k≠j,l_j(x_k)=\begin{cas

1.多项式求值的秦九韶算法设给定nnn次多项式p(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an,a0≠0,p(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,\quad a_0\neq 0,p(x)=a0​xn+a1​xn−1+⋯+an−1​x+an​,a0​​=0,求x∗处的值p(x∗).若直接计算每一项aixn−i再相加,共需要x^*处的值p(x^*).若直接计算每一项a_ix^{n-i}再相加,共需要x∗处的值p(x∗).若直接计算每一项ai​xn−i再相

1.迭代法设有线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2,⋮an1x1+an2x2+⋯+annxn=bn,\begin{cases} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+a_{1n}x_n&=&b_1,\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+a_{2n}x_n&=&

1.向量范数如果向量x∈Rn(或Cn)x\in\mathbb{R}^n(或\mathbb{C}^n)x∈Rn(或Cn)的某个实值函数N(x)=∥ x ∥,N(x)=\left\lVert \,x\,\right\rVert,N(x)=∥x∥,满足条件:(1)∥ x ∥⩾0(∥ x ∥=0当且仅当x=0)正定条件(1)\left\lVert \,x\,\right\rVert\geqslant 0(\left\lVert \,x\,\right\rVert=0\text{当且仅当}x=0)\text{正定

1.追赶法解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组[b1c1a2b2c2⋱⋱⋱an−1bn−1cn−1anbn][x1x2⋮xn−1xn]=[f1f2⋮fn−1fn],\begin{bmatrix} b_1&c_1&&&\\ a_2&b_2&c_2&&\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\\ &&a_{n-1}&

1.改进平方根法对称阵的三角分解定理设AAA为nnn阶对称矩阵，且AAA的所有顺序主子式均不为零，则AAA可唯一分解为A=LDLT,A=LDL^T,A=LDLT,其中LLL为单位下三角矩阵，DDD为对角矩阵.即A=[1l211⋮⋮⋱ln1ln2…1][d1d2⋱dn][1l21…ln11…ln2⋱⋮1]A=\begin{bmatrix} 1&&&\\ l_{21}&1&&\\ \vdots&\vd

1.对称正定矩阵三角分解或Cholesky分解定理

一，不选主元Gauss消去法定理设Ax=b,其中A∈Rn×n.(1) 如果akk(k)≠0(k=1,2,···,n),则可以通过高斯消去法将Ax=b约化为等价的三角形线性方程组，如下:

1.矩阵三角分解原理设AAA为非奇异矩阵，且有分解式A=LU,A=LU,A=LU,A=[a11a12…a1na21a21…a2n⋮⋮⋮an1an1…ann]A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{21}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1

一，列主元Guass消去法因为在使用不选主元的Guass消去法消元时，可能出现akk(k)=0的情况，此时消去法无法进行下去；即使主元素akk(k)≠0但绝对值很小时，用作除数会导致其他元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算结果不可靠.对于一般的矩阵来说，每一步选取系数矩阵(或消元后的低阶矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性，这就是列主元高斯消去法.二，列主元Guass消去法Python代码# 自己原创def pivot_lu_decomposition

一，列主元三角分解定理如果A为非奇异矩阵，则存在排列矩阵P使 PA=LU,其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，即A=P-1LU二，列主元三角分解Python代码# 自己原创def pivot_lu_decomposition(coefficient_matrix: np.ndarray, right_hand_side_vector: np.ndarray): """ 实现方程Ax=b系数矩阵A的pivoted LU decomposition :param coeffici

一，矩阵LU分解定理设A为n阶矩阵，如果A的顺序主子式Di≠0(i=1,2,···,n-1),则A可以分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的，即A=LU二，矩阵LU分解Python代码# 自己原创def lu_decomposition(coefficient_matrix: np.ndarray, right_hand_side_vector: np.ndarray): """ 实现方程Ax=b系数矩阵A的LU decomposition :