矩阵分析与应用+张贤达

第一章 矩阵与线性方程组（六）

一、复内积空间

• 复内积空间(complex inner product space)是满足下列条件的复向量空间$C$：对$C$中每一对向量$x,y$，存在复向量$x$和$y$之间的内积$<x,y>$服从以下公理:
  (1)$x\ne 0\to <x,x>>0$，称为内积的严格正性或称内积是正定的;
  (2)$<x,y{>}^{\ast }=<y,x>$，称为内积的共轭对称性或$Hermitian$性;
  (3)$<x,y+z>=<x,y>+<x,z>$，对所有向量$x,y,z$成立;
  (4)$<cx,y>=c\ast <x,y>$对所有复向量$x,y$及所有复标量$c$成立。
• 一个有限维的复内积空间内的复向量$x=[x_1,x_2,\dots ,x_n{]}^T，y=[y_1,y_2;\dots ,y_n{]}^T$之间的内积通常采用复向量的典范内积表示，即
  
  使用符号$C^n$表示具有上述典范内积定义的n维复内积空间。
• 复内积空间$C^n$内向量$x$的范数$||x||$也定义为$||x||=<x,x{>}^{1/2}$类似地，若$||x||=1$，则称$x$为单位长度向量。对于复内积空间$C^n$的每一对向量$x,y$它们之间的距离定义为$||x-y||$。

二、复内积空间的常用范数性质

复内积空间和实内积空间的某些范数性质有所不同。
(1)$||0||=0;||x||>0,\forall x\ne 0;$
(2)$||cx||=|c|||x||$，其中，$|c|$表示复数c的模;
(3)极化恒等式

(4)平行四边形法则

(5)Cauchy-Schwartz不等式$|<x，y>|\le ||x||||y||$，等式$|<x,y>|=||x||||y||$ 成立，当且仅当$y=cx$，其中，c为某个复数;
(6)三角不等式$||x+y||\le ||x||+||y||$。

三、线性映射

• 不同向量空间内向量之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够实现从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。

• 映射本身就是一类函数，因此常使用一般函数通用的符号来表示映射。若令$V$是$Euclidean$m空间$R^m$的子空间，$W$是$R$的子空间，则
  
  称为子空间$V$到子空间$W$的映射(或函数 、变换)，它表示将子空间$V$的每一个向量变成子空间$W$的一个相对应向量的一种规则。

• 若$v\in V$和$w\in W$，则向量$w$是$v$的映射或变换，即有
  $$w=T(v)$$
  并称子空间$V$是映射$T$的始集或域，称$W$是$T$的终集或上域。

• 若$v$是向量空间$V$的某个向量，则$T(v)$称为向量$v$在映射$T$下的像，或映射$T$在点$v$的值，而$v$称为$T(v)$的原像。对于向量空间$V$的子空间$A$，映射 $T(A)$表示子空间$A$的元素(即向量)在映射$T$下的值的集合，写作
  $$T(A)=T(v):v\in A$$
  特别地，$T(V)$代表对$V$内所有向量的变换输出的集合，称为映射$T$的值域，其符号为
  $$T(V)=Im(T)=T(v:v\in V)$$

• 一般地，映射$T:V\to W$的值域$Im(T)$是$W$的一个子集合。如果$Im(T)=W$，即映射的值域等于向量空间$W$，则称$T:V\to W$为满射。
  映射$T:V\to W$称为单(值映)射，若它将$V$的不同向量映射为$W$的不同向量，即
  $$v_1，v_2\in V,v_1\ne v_2\to T(v_1)\ne T(v_2)$$
  或者
  $$T(v_1)=T(v_2)\to v_1=v_2$$
  特别地，若映射$T:V\to W$既是单射，又是满射，则称之为一对一映射。
  一个一对一映射$T:V\to W$存在逆映射$T^{-1}:W\to V$。逆映射$T^{-1}$的任务就是将映射$T$所做过的每一件事情恢复原状。

• 若$T(v)=w$，则$T^{-1}(w)=v$。其结果是，$T^{-1}(T(v))=v，Vv\in V和T(T^{-1}(w))=w,\forall w\in W$。

• 矩阵与向量的乘法$A_{mxn}{x}_{nx1}$也可视为将$C^n$的向量$x$变换为$C^m$的某个向量 $y=Ax$的映射$T:z\to Ax$，故矩阵与一向量的乘法常称为该向量的矩阵变换$
  考察线性变换$y=T(x)=rx$。当$0\le r\le 1$时，称线性变换$T(x)=rx$为压缩映射，因为$T$在$x$的像点$rx$的向量长度小于$x$的长度。相反，若$ r>1$，则称$T(x)=rx$为\ast \ast 膨胀映射\ast \ast ，因为$rx$是将$x$拉长的结果。