max函数的线性化方法

线性化步骤

参考知乎回答。

最大值约束式如下（假设 $x,y$ 中的 $x$ 为较大值）：

z = max ⁡ { x , y } z = \max \{ x,y\} z=max{x,y}

该约束可等价为以下两个约束：
z ≥ max ⁡ { x , y } (1) z \ge \max \{ x,y\} \tag {1} z≥max{x,y}(1)

z ≤ max ⁡ { x , y } (2) z \le \max \{ x,y\} \tag {2} z≤max{x,y}(2)

其中约束$(1)$显然可用如下约束式等价：

$$z\ge x$$$$z\ge y$$

约束$(2)$可用如下约束式等价：

$$z\le x+M(1-u_1)\text{\hspace{1em}(3)}$$$$z\le y+M(1-u_2)\text{\hspace{1em}(4)}$$$$u_1+u_2\ge 1\text{\hspace{1em}(5)}$$ u 1 , u 2 ∈ { 0 , 1 } (6) {u_1},{u_2} \in \{ 0,1\}\tag {6} u1​,u2​∈{0,1}(6)

其中$M$为较大常数。

解释如下：

式$(3)$、式$(4)$在$u=1$时分别等价为$z\le x$ 、 $z\le y$，在$u=0$时被松弛。

因此针对$u$的不同取值，式$(3)$、式$(4)$等价为4种可能的情形：

1. $z\le x$、$z\le y$ 同时成立，即 z ≤ min ⁡ { x , y } z \le \min \{ x,y\} z≤min{x,y} —— $u_1=1,u_2=1$
2. $z\le x$，即 z ≤ max ⁡ { x , y } z \le \max \{ x,y\} z≤max{x,y} —— $u_1=1,u_2=0$
3. $z\le y$ —— $u_1=0,u_2=1$
4. 无约束 —— $u_1=0,u_2=0$

由于已有约束$(1)$的限制，情形1、2、3中只有2可能成立（注意前面已经假设$x$为较大值），1、3均与约束$(1)$矛盾。

同时注意到情形4会导致我们得不到 z = max ⁡ { x , y } z = \max \{ x,y\} z=max{x,y}的整体约束效果，而且该种情形和约束$(1)$不矛盾，也就意味着无法通过约束$(1)$的限制作用来消除，因此我们需要进一步添加约束避免情形4的出现。

进一步添加约束$(5)$、$(6)$，保证$u_1,u_2$必须至少有一个为$1$，即不可能出现情形4。

综上，最大值约束可通过如下线性约束等价：
$$z\ge x$$$$z\ge y$$ $$z\le x+M(1-u_1)$$$$z\le y+M(1-u_2)$$$$u_1+u_2\ge 1$$ u 1 , u 2 ∈ { 0 , 1 } {u_1},{u_2} \in \{ 0,1\} u1​,u2​∈{0,1}

其中$M$为较大常数。

总结

$max$ 函数体现的是一种选择性，如果a大于b，就选a；反之选b。这类选择性一般都可以通过大M法的思路（0-1变量配合大M）加以解决。没有特别的理论深度，可以称之为小技巧。