地下城游戏 骑士拯救公主 ｜ leetcode 174

题目：一些恶魔抓住了公主（P）并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 M x N 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士（K）最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。

骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。

为了尽快到达公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。

例如，考虑到如下布局的地下城，如果骑士遵循最佳路径 右 -> 右 -> 下 -> 下，则骑士的初始健康点数至少为 7。

题解：

这个题目看一下大概是明白可以用动态规划去求解的，但关键是我们只能从右下角开始，因为如果是从左上角开始要保存的是两个值，对比一下上面例子中 “右->右->下->下”和“下->下->右->右”这两条路径就能明白。但如果我们从右下角开始寻找，只要保存当前所需生命最小值即可。

我们使用一个一个辅助二维数组dp[][]来保存地图上处于到达某个位置所需的最小生命值，因为题目中限制骑士只能向下或向右移动，那么dp[i][j]的值只取决于dp[i+1][j]、dp[i][j+1]、dungeon[i][j]这三者。具体他们是怎么决定dp[i][j]呢？

首先骑士可以向下或向右移动，那么根据题中要求，在当前位置去移动肯定选择所需生命值更小的方向移动，那么min( dp[i+1][j], dp[i][j+1] )就是在dp[i][j]未来所需的最小的生命值；

之后我们还要考虑骑士在(i,j)这个位置生命值的消耗，因为骑士的生命值小于1是就代表他将死亡，那么

• 如果dungeon[i][j]的值是非负的，则来到此位置时骑士的生命值大等于1即可；
• 如果dungeon[i][j]的值是负值，则来到此位置时骑士的生命值要大等于（1-dungeon[i][j]），这样在(i,j)位置损失-dungeon[i][j]这么多健康点数，还能保持是活着的状态（生命值大等于1）；

所以综合以上两种情况如果想要在(i,j)活着，到达此位置前生命值最小为max(1−dungeon(i,j), 1) 

因此更新公式为：dp[i][j] = max( min(dp[i+1][j], dp[i][j+1]) − dungeon(i, j),  1)

最终答案即为 dp[0][0]。

边界条件为，当 i=n−1或者 j=m−1 时，dp[i][j] 转移需要用到的 dp[i][j+1]  dp[i+1][j] 中有无效值，因此代码实现中给无效值赋值为正无穷。特别地，dp[n−1][m−1] 转移需要用到的dp[n−1][m] 和 dp[n][m−1]均为无效值，因此我们给这两个值赋值为 1。

代码 (java版)

public static int calculateMinimumHP(int[][] dungeon) {
    int row = dungeon.length;
    int col = dungeon[0].length;
    //动态规划辅助数组
    int[][] dp = new int[row+1][col+1];
    //初始化
    for (int i = 0; i < row+1; i++)
        dp[i][col] = Integer.MAX_VALUE;
    for (int j = 0; j < col+1; j++)
        dp[row][j] = Integer.MAX_VALUE;
    dp[row][col-1] = 1;
    dp[row-1][col] = 1;
    //开始遍历
    for (int i = row-1; i >= 0; i--)
        for (int j = col-1; j >= 0; j--) {
            dp[i][j] = Math.min(dp[i][j+1], dp[i+1][j]);
            dp[i][j] = Math.max(1, dp[i][j]-dungeon[i][j]);
        }
    //System.out.println(dp[0][0]);
    return dp[0][0];
}

public static void main(String args[]) {
    int[][] test = {{-2,-3,3},{-5,-10,1},{10,30,-5}};
    calculateMinimumHP(test);
}