[FFT] 例题详解

FFT是什么

FFT（Fast Fourier Transformation）就是“快速傅里叶变换”的意思，它是一种用来计算DFT（离散傅里叶变换）和IDFT（离散傅里叶反变换）的一种快速算法。这种算法运用了一种高深的数学方式、把原来复杂度为O(n2)的朴素多项式乘法转化为了O(nlogn)的算法。

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FFT在算法竞赛中的例题

FFT能将多项式乘法O(n^2) 优化为 O(nlogn)

但是题目中并不是直接了当的求多项式乘法，而是将问题转化成多项式乘法的形式。

高精度乘法-HDU1402

众所周知高精度乘法其实是两个字符串模拟乘法，而两个字符串可以看成两个多项式，满足多项式乘法的性质。

可以使用FFT加速

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi = acos(-1.0);
// 复数结构体
struct Complex {
    double x,y;
    Complex(double _x = 0.0,double _y = 0.0) {
        x = _x;
        y = _y;
    }
    Complex operator - (const Complex &b)const {
        return Complex(x-b.x,y-b.y);
    }
    Complex operator + (const Complex &b)const {
        return Complex(x+b.x,y+b.y);
    }
    Complex operator * (const Complex &b)const {
        return Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
};
/* 进行FFT和IFFT前的反转变化
 * 位置 i 和 (i 二进制反转后位置) 互换
 * len 必须为 2 的整数幂
 */
void change(Complex y[],int len) {
    int i,j,k;
    for(i=1,j=len/2;i<len-1;i++) {
        if(i < j) swap(y[i],y[j]);
        k = len / 2;
        while(j >= k) {
            j -= k;
            k /= 2;
        }
        if(j < k) j += k;
    }
}
/*
 * FFT
 * len必须是2^k形式
 * on = 1是FFT， -1是IFFT
 */
void fft(Complex y[],int len,int on) {
    change(y,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1) {
        Complex wn(cos(-on*2*pi/h),sin(-on*2*pi/h));
        for(int j=0;j<len;j+=h) {
            Complex w(1,0);
            for(int k=j;k<j+h/2;k++) {
                Complex u = y[k];
                Complex t = w*y[k+h/2];
                y[k] =  u+t;
                y[k+h/2] = u-t;
                w = w * wn;
            }
        }
    }
    if(on == -1) 
        for(int i=0;i<len;i++) y[i].x /= len;
}
const int maxn = 200010;
Complex x1[maxn],x2[maxn];
char str1[maxn],str2[maxn];
int sum[maxn];
int main()
{   
    while(~scanf("%s%s",str1,str2)) {
        int len1 = strlen(str1);
        int len2 = strlen(str2);
        int len = 1;
        while(len < len1*2 || len < len2*2) len <<= 1;
        for(int i=0;i<len1;i++) 
            x1[i] = Complex(str1[len1-i-1]-'0',0);
        for(int i=len1;i<len;i++)
            x1[i] = Complex(0,0);
        for(int i=0;i<len2;i++) 
            x2[i] = Complex(str2[len2-i-1]-'0',0);
        for(int i=len2;i<len;i++)
            x2[i] = Complex(0,0);
        // 求 DFT
        fft(x1,len,1);
        fft(x2,len,1);
        for(int i=0;i<len;i++) x1[i] = x1[i] * x2[i];
        fft(x1,len,-1);
        for(int i=0;i<len;i++) 
            sum[i] = (int)(x1[i].x+0.5);
        for(int i=0;i<len;i++) {
            sum[i+1] += sum[i] / 10;
            sum[i] %= 10;
        }
        len = len1+len2-1;
        while(sum[len]<=0 && len>0) len--;
        for(int i=len;i>=0;i--) 
            printf("%c",sum[i]+'0');
        printf("\n");
    }
    return 0;
}<