Smallest Good Base

最新推荐文章于 2024-09-27 11:37:25 发布

春蒙

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分类专栏： LeetCode 文章标签： LeetCode

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本文介绍了一种算法，用于寻找给定整数的最小“好进制”。通过遍历可能的进制，判断该进制下整数是否全由1组成，最终返回满足条件的最小进制。

For an integer n, we call k>=2 a good base of n, if all digits of n base k are 1.

Now given a string representing n, you should return the smallest good base of n in string format.

Example 1:

Input: "13"
Output: "3"
Explanation: 13 base 3 is 111.

Example 2:

Input: "4681"
Output: "8"
Explanation: 4681 base 8 is 11111.

Example 3:

Input: "1000000000000000000"
Output: "999999999999999999"
Explanation: 1000000000000000000 base 999999999999999999 is 11.

Note:

The range of n is [3, 10^18].
The string representing n is always valid and will not have leading zeros.

题目理解：

给定一个整数a，将其从十进制转换为N进制A，如果A的每一位数字都是1，那么将N成为“好进制”，问对于一个给定的整数，其最小的“好进制”是多少

解题思路：

基本思路就是遍历所有进制，如果转换之后的数的数字全部都是1，就返回它。

首先是判断a的N进制是不是全为1，采用的方式是每次减1，然后除以N，如果每次除法都能整除，那么a的N进制就是全为1，这个可以自己举例子理解

为了减小复杂度，进制N一定是a-1的因子，因此进制的范围就缩小到了2~N的平方根。在考虑每一个因子i的时候，要注意（a-1）/i也是因子

由于a的范围是10^18，因此N的范围是10^9，这个复杂度还是不能通过全部样例，因此还要进一步缩小范围。考虑到，如果a的N进制是11，那么N就是a-1，如果aN进制是111，那么N一定小于a的三次根，如果位数大于3，那么N就会更小，所以如果单独考虑了111的情况，那么N的范围就能缩小到2~a的三次根。111的处理情况实际上就是解方程，不细讲。此时的复杂度可以通过样例检测。

import java.math.BigInteger;
class Solution {
    public boolean judge(long num, long base){
        if(base == 1)
            return false;
        num -= 1;
        while(num > 0 && num % base == 0){
            num /= base;
            num -= 1;
        }
        return num == 0;
    }

    public String smallestGoodBase(String n) {
        long num = Long.valueOf(n);
        long temp = num - 1;
        long res = temp;
        for(long i = 1; i <= Math.pow(num, 1.0 / 3); i++){
            if((temp) % i != 0)
                continue;
            if(judge(num, i))
                return String.valueOf(i);
            if(judge(num, (temp) / i))
                res = (temp) / i;
        }
        long root = (long) Math.sqrt(4 * num - 3);
        if(Math.pow(root, 2) == 4 * num - 3) {
            long cur = (-1 + root);
            if(cur != 2 && cur % 2 == 0)
                res = Math.min(cur / 2, res);
        }
        return String.valueOf(res);
    }
}