0/1背包问题 c++

#include<iostream>
#define M 20
using namespace std;
int w[M],p[M],bestx[M],x[M]; //x[]暂存
int n,bestP=0; //表示当前背包获得的最大价值

int C;

//将单位重量的物品按降序排

void sort(int n){
int flag,index;
for(int i=1;i<n;i++){
index=i;
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if((float)p[j]/w[j]>(float)p[index]/w[index]) {index=j;} //此处防止当出现小数时,整型相除会将小数去除
}
if(index!=i){
flag=w[i];
w[i]=w[index];
w[index]=flag;
flag=p[i];
p[i]=p[index];
p[index]=flag;
}
}
}
void BackTrack(int i,int cp,int cw){
if(i>n){ //到达叶子节点
if(bestP<cp) bestP=cp;
for(i=0;i<=n;i++) bestx[i]=x[i];
}
else{
for(int j=0;j<=1;j++)  
        {
            x[i]=j;
            if(cw+x[i]*w[i]<=C)  
            {
                cw+=w[i]*x[i];
                cp+=p[i]*x[i];
                BackTrack(i+1,cp,cw);
                cw-=w[i]*x[i];
                cp-=p[i]*x[i];
            }
        }
}
}
void main(){
int cw=0; //背包当前的重量
int cp=0; //背包当前获得的价值
//物品的重量存储在数组w[n]中,价值存储在数组p[n]中,bestx是否有装入背包。
cout<<"请输出背包的最大容量:";
cin>>C;
//输入重量与价值
cout<<"请输入物品的数量:";
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
cout<<"第"<<i<<"件物品的重量 价值:";
cin>>w[i];
cin>>p[i];
x[i]=bestx[i]=0;
}
//按单位价值排序
sort(n);
BackTrack(1,cp,cw);
cout<<"最大价值"<<bestP<<endl;
cout<<"放入的物品的重量为:";
for(int j=1;j<=n;j++){
if(bestx[j]==1) 
cout<<w[j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
<think>好的,用户需要关于0/1背包问题C++实现,特别是动态规划的解法。首先,我得回忆一下动态规划解决这个问题的基本思路。0/1背包问题的核心是在有限的背包容量下,选择物品使得总价值最大,每个物品只能选或不选。 用户可能已经了解过问题描述,但为了确保全面,我应该先简要说明问题,然后逐步展开动态规划的步骤。动态规划通常需要定义状态,这里应该是dp[i][j],表示前i个物品在容量j时的最大价值。接着是状态转移方程,如果不选第i个物品,那么dp[i][j] = dp[i-1][j];如果选的话,就要看j >= weight[i-1]的情况,此时dp[i][j] = dp[i-1][j - weight[i-1]] + value[i-1]。然后取两者的最大值。 接下来是初始化,dp[0][j]都为0,因为没有物品时价值为0。然后需要编写代码实现这个逻辑。考虑到空间优化,可以将二维数组压缩成一维数组,这样空间复杂度降为O(C)。但用户可能刚开始学习,所以先展示二维数组的解法,再介绍优化版本会更清晰。 然后,代码示例部分需要正确无误,变量命名要清晰,比如使用vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(C+1, 0))。然后嵌套循环遍历物品和容量,应用状态转移方程。最后返回dp[n][C]。 用户可能还会关心时间复杂度和空间复杂度,这里需要提到O(n*C)的时间复杂度,空间复杂度如果是二维的话是O(n*C),优化后是O(C)。同时,可以指出动态规划的优势,比如避免重复计算子问题,适用于有最优子结构的情况。 此外,用户可能想知道如何处理输入和输出,是否需要完整的可运行代码。所以提供一个完整的示例代码,包括main函数里的测试用例会更好。比如给定物品的重量和价值,以及背包容量,输出最大价值。 可能还需要考虑边界情况,比如容量为0或者物品数量为0的情况,不过在代码中初始化时已经处理了。另外,注意物品的索引,代码中是从0开始还是1开始,这里需要保持一致,避免越界错误。 最后,用户可能有进一步的问题,比如如何优化空间复杂度,如何处理大容量时的内存问题,或者是否有其他方法如回溯法解决。因此,生成相关问题时要包括这些方面,帮助用户深入理解。 总结一下,回答的结构应该是:问题描述、动态规划思路、状态定义、转移方程、初始化、代码实现(二维和一维)、复杂度分析、示例代码和测试结果,最后是相关问题。确保每个部分清晰,代码正确,并引用已有的资料中的时间复杂度信息[^2]。</think>### 0-1背包问题C++动态规划实现详解 #### 1. 问题定义 给定$n$个物品(每个物品重量$w_i$,价值$v_i$)和容量$C$的背包,求能装入物品的最大价值(每个物品只能选或不选)。 #### 2. 动态规划思路 **状态定义**: $$dp[i][j] = 前i个物品在容量j时的最大价值$$ **状态转移方程**: $$ dp[i][j] = \begin{cases} \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_{i-1}] + v_{i-1}) & j \geq w_{i-1} \\ dp[i-1][j] & \text{否则} \end{cases} $$ **初始化**: $$dp[0][j] = 0 \quad (0 \leq j \leq C)$$ #### 3. C++实现代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; int knapsack(int C, vector<int>& weights, vector<int>& values) { int n = weights.size(); vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(C + 1, 0)); for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= C; ++j) { if (j >= weights[i-1]) { dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]); } else { dp[i][j] = dp[i-1][j]; } } } return dp[n][C]; } int main() { vector<int> weights = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量 vector<int> values = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值 int capacity = 8; // 背包容量 cout << "最大价值为:" << knapsack(capacity, weights, values); // 输出:11 return 0; } ``` #### 4. 算法优化 **空间优化(滚动数组)**: 使用一维数组将空间复杂度从$O(nC)$优化到$O(C)$: ```cpp int knapsack_optimized(int C, vector<int>& weights, vector<int>& values) { vector<int> dp(C + 1, 0); for (int i = 0; i < weights.size(); ++i) { for (int j = C; j >= weights[i]; --j) { dp[j] = max(dp[j], dp[j - weights[i]] + values[i]); } } return dp[C]; } ``` #### 5. 复杂度分析 - 时间复杂度:$O(nC)$ - 空间复杂度: - 二维数组:$O(nC)$ - 一维数组:$O(C)$
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