谓词与量词

谓词：

顾名思义，谓词就是主语后面的部分。

如语句：“x 大于3”  --->    x 是主语（变量），大于3 是谓词（表明主语具有的性质）。

            使用 P(x) 表示“x 大于3”  ，其中 P 表示谓词(大于3），x 是变量。语句 P(x) 也可以说是命题函数 P(x) 在 x 的值。

 一旦给变量 x 赋值，语句 P(x) 就成为一个命题具有真值。

例：令 P(x) 表示 “ x > 3 ”，求 P(4) 和 P(2) 的真值。 

      显而易见，答案分别是 真 和 假。

有些语句含有不止一个变量，如 " x = y + 3 " ,我们可以用 Q(x, y)表示这个语句，其中 x、y 是变量。Q 是谓词。当变量 x、y被赋值时，语句 Q(x, y) 就有真值了。判别同上。 Q(3, 0) 为真。

一般地，涉及 n 个变量 x1, x2, x3, ··· ，xn 的语句可以表示成  P(x1, x2, x3, ··· ，xn ）， P 也称为 n 元谓词。

量词

起量化作用，表示在某种程度上谓词对于 一定范围的个体 成立。如 所有、某些、许多、少量、没有 等等。

这里只讨论两种量化： 全称量化 和 存在量化 

处理谓词和量词的逻辑领域称为谓词演算。

全称量词：许多数学命题断言某一性质对于某一特定域内所有值为真，这一特定域称为变量的论域( domain of disource)或全体域（universe of disource), 时常称为 域。所以 在使用量词时一定指定域，否则无意义。

例： 假设 P(x) 是 X2 > 0。要证明语句∀xP(x)为假，只需要给出一个反例， 其中 x = 0是一个反例。（找反例是一个很重要的过程）

当论域中的所有的元素可以一一列出时，比如 x1, x2, x3, ···，xn, 可以得出全称量化 ∀xP(x) 与合取式 P(x1) ∧ P(x2) ∧ ··· ∧ P(xn) 相同 ，

因为这一合取式为真当且仅当 P(x1) ，P(x2) ， ··· P(xn) 全部为真。

存在量词：

当论域中的所有的元素可以一一列出时，比如 x1, x2, x3, ···，xn, 可以得出全称量化 ∃xP(x) 与析取式 P(x1) ∨ P(x2) ∨ ··· ∨ P(xn) 相同 ，

因为这一析取式为真当且仅当 P(x1) ，P(x2) ， ··· P(xn) 至少有一个为真。

量词

命题	什么时候为真	什么时候为假
∀xP(x)	对每一个x, P(x)都为真	有一个x, 使P(x)为假
∃xP(x)	有一个x, 使P(x)都为真	对每一个x, P(x)都为假

唯一性量词：

∃！或者 ∃1     　：有且仅有一个

如 ∃！x(x-1) = 0

量词的优先级：∀ 和 ∃ 比其他逻辑运算符优先级高。 如∀xP(x) ∨ Q(x) 是xP(x) 和 Q(x) 的析取。

变量绑定：

当量词作用于变量 x 时，则说此变量的这次出现为约束的。一个变量的单独出现被称为是自由的。

如∃x(x+y=1) 中，x受∃约束，而 y 是自由的。

参考书籍：《离散数学及其应用》 Rosen