算法记录 | Day50 动态规划

123.买卖股票的最佳时机III

思路：

1.确定dp数组以及下标的含义

最多可完成两笔交易意味着总共有三种情况：买卖一次，买卖两次，不买卖。

具体到每一天结束总共有 5 种状态：

1. 未进行买卖状态；
2. 第一次买入状态；
3. 第一次卖出状态；
4. 第二次买入状态；
5. 第二次卖出状态。

所以我们可以定义状态 dp[i][j] ，表示为：第 i 天第 j 种情况（0 <= j <= 4）下，所获取的最大利润。

2.确定递推公式

• 第 0 种状态下显然利润为 0，可以直接赋值为昨天获取的最大利润，即 dp[i][0] = dp[i - 1][0]。
• 第1种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
  • 不做任何操作，直接沿用前一天买入状态所得的最大利润：dp[i][1] = dp[i - 1][1]。
  • 第一次买入：dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]。
• 第2种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
  • 不做任何操作，直接沿用前一天卖出状态所得的最大利润：dp[i][2] = dp[i - 1][2]。
  • 第一次卖出：dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]。
• 第3种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
  • 不做任何操作，直接沿用前一天买入状态所得的最大利润：dp[i][3] = dp[i - 1][3]。
  • 第二次买入：dp[i][3] = dp[i - 1][2] - prices[i]。
• 第4种状态下可以有两种状态推出，取最大的那一种赋值：
  • 不做任何操作，直接沿用前一天卖出状态所得的最大利润：dp[i][4] = dp[i - 1][4]。
  • 第二次卖出：dp[i][4] = dp[i - 1][3] + prices[i]。

3.dp数组如何初始化:

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][4] = 0

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0]

第一次卖出的话，可以视作为没有盈利（当天买卖，价格没有变化），即 dp[0][2] = 0。第二次买入的话，就是 dp[0][3] = -prices[0]。同理第二次卖出就是 dp[0][4] = 0。

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        size = len(prices)
        if size == 0:
            return 0
        dp = [[0 for _ in range(5)] for _ in range(size)]

        dp[0][1] = -prices[0]
        dp[0][3] = -prices[0]

        for i in range(1, size):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0]
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])
            dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])
            dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])
            dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])
        return dp[- 1][4]

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0:
            return 0
        dp = [0] * 5 
        dp[1] = -prices[0]
        dp[3] = -prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i])
            dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i])
            dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i])
            dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i])
        return dp[4]

188.买卖股票的最佳时机IV

思路：

1.确定dp数组以及下标的含义:dp[i][j] ，表示为：第 i 天第 j 种情况（0 <= j <= 2 * k）下，所获取的最大利润。

最多可完成两笔交易意味着总共有三种情况：买卖一次，买卖两次，不买卖。

具体到每一天结束总共有 2 * k + 1 种状态：

1. 未进行买卖状态；
2. 第 1 次买入状态；
3. 第 1 次卖出状态；
4. 第 2 次买入状态；
5. 第 2 次卖出状态。
6. …
7. 第 m 次买入状态。
8. 第 m 次卖出状态。

因为买入、卖出为两种状态，干脆我们直接让偶数序号表示买入状态，奇数序号表示卖出状态。

2.确定递推公式

达到dp[i] [1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i] [1] = dp[i - 1] [0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i] [1] = dp[i - 1] [1]

选最大的，所以 dp[i] [1] = max(dp[i - 1] [0] - prices[i], dp[i - 1] [1]);

同理dp[i] [2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i] [2] = dp[i - 1] [1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i] [2] = dp[i - 1] [2]

所以dp[i] [2] = max(dp[i - 1] [1] + prices[i], dp[i - 1] [2])

3.dp数组如何初始化:

可以很明显看出第一天不做任何操作就是 dp[0][0] = 0，第 m 次买入（j = 2 * m）就是 dp[0][j] = -prices[i]。

第 m 次（j = 2 * m + 1）卖出的话，可以视作为没有盈利（当天买卖，价格没有变化），即 dp[0][j] = 0。

可以推出dp[0] [j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5.举例推导dp数组：

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0:
            return 0
        dp = [[0] * (2*k+1) for _ in range(len(prices))]
        for j in range(1, 2*k, 2):
            dp[0][j] = -prices[0]
        for i in range(1, len(prices)):
            for j in range(0, 2*k-1, 2):
                dp[i][j+1] = max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i])
                dp[i][j+2] = max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i])
        return dp[-1][2*k]

class Solution:
    def maxProfit(self, k: int, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices) == 0: return 0
        dp = [0] * (2*k + 1)
        for i in range(1,2*k,2):
            dp[i] = -prices[0]
        for i in range(1,len(prices)):
            for j in range(1,2*k + 1):
                if j % 2:
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]-prices[i])
                else:
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]+prices[i])
        return dp[2*k]