《算法导论》第二章 算法基础

  2.1插入排序

1.关键词：希望排序的数。

2.工作方式:(类似排序扑克牌)开始时，我们的左手为空并且桌子上的扑克牌牌面朝下。然后，我们每次从桌子上拿走一张扑克牌并将它插入到左手中的正确位置。为了找到一张牌的正确位置，我么需要从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较。拿在手里的牌总是排好序的，原来这些牌是桌子上牌堆顶部的牌。                                                                                                               3.循环不变式：（三条性质）

   初始化：循环的第一次迭代之前，它为真；

   保持：   如果循环的某次迭代之前它为真，下一次迭代之前它仍为真。

   终止：在循环终止时，不变式为我们提供了一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的： 

练习：

2.1-1：以图2-2为模型，说明INSERTION-SORT在数组A = <31,41,59,26,41,58>上的执行过程。

答：（验证一下循环不变式）:在循环的第一次迭代之前，A[1] = 31,只有一个元素，是有序的，当然为真；当j = 2时，原有的数组的子集已经有序，为真，经过一次迭代，原有的子集B = <31,41>变成B<31,41>且为有序。满足下一次迭代之前仍为真。

当j = n+1时，子集中的元素都是有序的并且和A相等，故在循环终止的时候，整个数组都变成有序的。

执行过程：j = 1时，B= [31],有序；

j = 2时，B= [31,41],也是有序的；

j = 3时，B = [31,41,59],有序；

    i= 4时，B = [31,41,59,26];i = 3,B = [31,41, ,59];i = 2,B = [31, , 41,59];i = 1,B = [  ,31,41,59];最后将26放置在第一个位置，得  到  B= [26,31,41,59]。

j = 4时，B= [26,31,41,59,41]以及j = 5重复上述过程。

2.1-2重写INSERTION-SORT，使之按非升序（而不是非降序）排序。

 

for(j = 2; j <= n; j++){
    key = A[j];
    i = j-1;
    while(i >0 && A[i] < key){
        A[i+1] = A[i]
    }
    A[i+1] = key;
}

2.1-3考虑一下查找问题：

输入： n个数的一个序列A = <a1,a2,……an>和一个值v。

输出：下标i使得v = A[i] 或者当v不在A中出现时，v为特殊的值NIL。

写出线性查找的伪代码，它扫描整个序列来查找v。使用一个循环不变式来证明你的算法是正确的。确保你的循环不变式满足三条必要的性质。

2.1-4：考虑把两个n位二进制加起来的问题，这两个数分别存储在两个n元数组A和B中。考虑这两个整数的和应该按二进制形式存储在一个（n+1）元数组C中。请给出该问题的形式化描述，并写出伪代码。

形式化描述：将数组A中的每一个元素和数组B中的每一个元素相加，再加上进位，对2

区域后余数保存在C中，进位保存在进位count中。

所有位相加结束后，如果有进位，将进位保存在数组C中

最后逆置数组C。

伪代码：

BINARY_ADD(A,B,C)
count; //表示进位
temp;
i = 0;
for j = n downto 1
    temp = A[j] + B[j] + count;
    C[i] = temp % 2;
    count = temp /2;
if count ！= 0
    C[i] = count;
reverse(C); //翻转数组C