最小二乘法和梯度下降的透彻剖析

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#python #人工智能 #机器学习

该视频教程涵盖了Python机器学习的深入内容，包括多种算法和实践应用。适合有一定Python基础并希望提升机器学习技能的学习者。通过这100讲，你可以系统地学习到机器学习的核心概念和技术。
数据分析师必备经典
AI天才研究院
08-05 1609
什么是数据分析师？就是利用数据发现隐藏在数据的模式、规律、关系等信息并进行分析、呈现报告给业务决策者或其他人员，帮助企业提升竞争力和产品质量。那么数据分析师到底需要具备哪些能力？到底该怎么去培养呢？数据分析师可以从以下几个方面来分类，下面将介绍一下每个方面的技能要求和特点。技术视野极其广泛：数据分析师要有极高的技术视野和理解能力，不仅仅局限于某个领域比如电子商务、金融，也要了解IT和互联网的方方面面，能够掌握很多技术工具和方法论。
最小二乘法与梯度下降法比较
sunxkd的博客
07-01 992
最小二乘法与梯度下降法 　　最小二乘法跟梯度下降法都是通过求导来求损失函数的最小值，那它们有什么区别呢。    　相同 　　1.本质相同：两种方法都是在给定已知数据（independent & dependent variables）的前提下对dependent variables算出出一个一般性的估值函数。然后对给定新数据的dependent variables进行估算。 　　2.目标相
【机器学习】最小二乘法&梯度下降
数据森麟
04-20 3185
作者：田志晨 来源：小田学Python最小二乘法所谓的最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。最小二乘法通常用于函数拟合以及求...
机器学习：最小二乘法、梯度下降法
MARY197011111的博客
05-21 500
一、最小二乘法 二、梯度下降法 三、牛顿法 四、极大似然估计
最小二乘法和梯度下降法求解多元线性回归的区别
jjikyour的博客
10-10 369
缺点：需要选择合适的学习率，可能会陷入局部最小值。解析解法：通过矩阵运算直接求解，计算回归系数。迭代法：逐步调整回归系数，最小化损失函数。优点：适合大数据集和高维空间，计算效率高。缺点：大数据集时计算量大，内存消耗高。优点：快速准确，特别适合小数据集。最小二乘法：小规模数据，直接求解。梯度下降法：大规模数据，迭代求解。
最优化方法——最小二乘法与梯度下降法
转载请标明出处，完整项目/代码详见github：https://github.com/yiru1225
12-26 1万+
本篇博客主要介绍最小二乘法、梯度下降法的原理与流程，分别使用Matlab、Pycharm分别实现了最小二乘法、不同迭代停止条件的梯度下降法等方法对给定优化模型进行求解并进行解之间的误差分析对比，并进行了一定理论与应用（内附数据集和python及matlab代码）。
Python实现——二元线性回归(最小二乘法)
dna13798的博客
04-01 5314
2019/3/30 二元线性回归——矩阵公式法_又名：对于python科学库的糟心尝试_ 二元线性回归严格意义上其实不过是换汤不换药，我对公式进行推导，其实也就是跟以前一样的求偏导并使之为零，并且最终公式的严格推导我大概也只能说是将将理解，毕竟最初的矩阵一开始都不太清楚应该是什么样子的，其中，Coursera的课程起到了非常显著的帮助。 其实这个部分我并不想写太多，因为理解并不是十分透彻...
python做二元线性回归_Python实现——二元线性回归(最小二乘法)
weixin_39996908的博客
12-16 2195
2019/3/30 二元线性回归——矩阵公式法又名：对于python科学库的糟心尝试 二元线性回归严格意义上其实不过是换汤不换药，我对公式进行推导，其实也就是跟以前一样的求偏导并使之为零，并且最终公式的严格推导我大概也只能说是将将理解，毕竟最初的矩阵一开始都不太清楚应该是什么样子的，其中，Coursera的课程起到了非常显著的帮助。 其实这个部分我并不想写太多，因为理解并不是十分透彻，总体来讲，感...
机器学习--笔试面试问题详细总结（面试大题）
Avery123123的博客
05-05 826
机器学习--笔试面试问题详细总结（面试大题）机器学习--笔试面试问题详细总结（面试大题） 机器学习–笔试面试问题详细总结（面试大题）
原创 | 常见损失函数和评价指标总结（附公式&代码）
数据派THU
04-21 4306
作者：董文辉本文长度为4500字，建议阅读10+分钟本文为你总结常见损失函数和评价指标。目录一、损失函数1.1 回归问题1.2 分类问题二、评价指标2.1 回归问题2.2 分类问题参考资...
线性回归中的最小二乘法和梯度下降法比较
阿肉的笔记
01-18 1万+
为什么要比较这两种方法呢？很多人可能不知道，我先简单的介绍一下 机器学习有两种，一种是监督学习，另一种是非监督学习。监督学习就是我告诉计算机你把班上同学分个类，分类标准是按照性别，男生和女生；非监督分类就是告诉计算机你自己去把班上同学分个类吧，我不告诉你分类标准。 在监督学习中，如果我们面对的变量是连续型的变量就要用到回归 回归其实是非常容易理解，也非常实用的一种方法，很多经济类的学生在写论文的...
最小二乘法与梯度下降法的区别
sinat_27652257的博客
06-11 1万+
最小二乘法与梯度下降法的区别？ - 优快云博客  https://blog.youkuaiyun.com/qq_27514297/article/details/53508149狭义的最小二乘法：指的是在线性回归下采用最小二乘准则（或者说叫做最小平方），进行线性拟合参数求解的、矩阵形式的公式方法。所以，这里的（最小二乘法）应叫做（最小二乘算法）或者（最小二乘方法，百度百科【最小二乘法】词条中对应的英文为（T...
梯度下降算法笔记整理4 - 最小二乘和梯度下降比较
Sevieryang/FinTech/Statistics/Quant
01-25 1479
最小二乘法 转自：https://blog.youkuaiyun.com/iterate7/article/details/78992015 1. 最小二乘法的思想 最小二乘法则是一种统计学习优化技术，它的目标是最小化误差平方之和来作为目标，从而找到最优模型，这个模型可以拟合（fit）观察数据。 回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以用著名的最小二乘法来解决。最小二乘法就是曲线拟合...
用最小二乘法和梯度下降法求解回归问题(Matlab实现)
Phoenix的博客
05-24 4945
用最小二乘法和梯度下降法求解回归问题(Matlab实现) 用最小二乘法和梯度下降法求解回归问题(Matlab实现) 1. 实验任务 2. 实现原理 2.1 最小二乘法实现原理 2.2 梯度下降法实现原理 3. 程序结构及具体实现 1. 实验任务 现有一家连锁饭店年利润和该饭店所在的城市人口与城市面积的数据（具体参见ex1data_onlynumbers.txt），请用回归...
插值法与最小二乘拟合总结
ourarewe的博客
10-02 7770
1、拉格朗日插值法 2、 Hermit插值法                                           3、牛顿插值法 3.1、牛顿差分 3.2、牛顿插值多项式 4、高阶插值的Runge现象        
机器学习经典算法之-----最小二乘法
weixin_30355437的博客
05-15 4641
一.背景 5月9号到北大去听hulu的讲座《推荐系统和计算广告在视频行业应用》，想到能见到传说中的项亮大神，特地拿了本《推荐系统实践》求签名。讲座开始，主讲人先问了下哪些同学有机器学习的背景，我恬不知耻的毅然举手，真是惭愧。后来主讲人在讲座中提到了最小二乘法，说这个是机器学习最基础的算法。神马，最基础，我咋不知道呢！ 看来以后还是要对自己有清晰认识。 回来赶紧上百度，搜了下...
线性回归最小二乘法和梯度下降法
大神养成中.....
04-07 1万+
问题描述首先我们定义问题，线性回归要解决的问题就是根据给出的数据学习出一个线性模型。 例如我们最常说的身高和体重的关系，以及房屋面积和房价的关系，这里给出一个瑞典汽车保险数据集 数据集 可以直接复制出来用 两列分别表示 索赔要求数量 对所有索赔的总赔付，以千瑞典克朗计 数据前五行108 392,5 19 46,2 13 15,7 124 422,2 40 119,4我们按照这个数据
Andrew Ng机器学习笔记2——梯度下降法and最小二乘拟合
庞琳卓的博客
04-26 5492
今天正式开始学习机器学习的算法，老师首先举了一个实例：已知某地区的房屋面积与价格的一个数据集，那么如何预测给定房屋面积的价格呢？我们大部分人可以想到的就是将画出房屋面积与价格的散点图，然后拟合出价格关于面积的曲线，那么对于一个已知的房屋面积，就可以在拟合的曲线上得到预测的价格。这个问题就是回归。 要想用数学方法解决这一问题，肯定得定义一堆符号来描述问题啦，下面是符号定义： 符号定义
最小二乘通俗解释
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11-12 7万+
作者：Jacky Yang 链接：https://www.zhihu.com/question/36324957/answer/255970074 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。 1.线性最小二乘法 大家可以随意搜索一下，相关的文章很多。长篇大论的不少，刚入门的朋友一看到那些公式可能就看不下去了。比如下面的解释： 毫无疑问，这样的解释...
最小二乘法和梯度下降法
最新发布
08-12
<think>首先，用户的问题是关于最小二乘法和梯度下降法的原理、优缺点以及它们之间的区别。我需要基于系统级指令和用户可见层的指导来构建回答。 系统级指令： - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识，例如[^1]。 用户可见层： - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题。 - 尽量保证回答真实可靠。 - 参考站内引用（提供的引用内容）。 参考站内引用： - [^1]: 最小二乘&梯度下降。不同：实现方法和结果不同：最小二乘法是直接求导找出全局最小，是非迭代法。而梯度下降法是一种迭代法，先给定一个，然后向\Delta下降最快的方向调整，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺点是到最小点的时候收敛速度变慢，并且对初始点的选择极为敏感，其改进大多是在这两方面下功夫。 - [^2]: 机器学习：最小二乘法、梯度下降法。最小化损失函数的优化方法...（详细内容见原文）。 - [^3]: 线性回归最小二乘法和梯度下降法。按照最小二乘法，我们直接求出导数为0的点，但是有时候很难解出方程，就考虑使用迭代的方法...。 - [^4]: 最小二乘法与梯度下降（原理）。正规方程是一种用于求解线性回归模型参数的方法...（详细内容见原文）。 用户的问题分解： 1. 最小二乘法：原理、优缺点。 2. 梯度下降法：原理、优缺点。 3. 对比两者。 我需要构建一个结构清晰的回答： - 先介绍最小二乘法。 - 然后介绍梯度下降法。 - 最后对比它们。 - 在适当的地方添加数学表达式。 - 结束时生成相关问题。 确保使用中文回答。 步骤： 1. **最小二乘法原理**： - 最小二乘法用于求解线性回归问题，通过最小化误差平方和来估计参数。 - 数学原理：对于线性模型 $y = X\beta + \epsilon$，目标是找到 $\beta$ 最小化 $S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - X_i \beta)^2$。 - 通过求导令导数为零：$\frac{\partial S}{\partial \beta} = 0$，得到正规方程：$X^T X \beta = X^T y$。 - 如果 $X^T X$ 可逆，则 $\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$。 2. **最小二乘法优缺点**： - 优点：直接求解全局最优解；不需要迭代；数学原理清晰。 - 缺点：计算复杂度高（$O(n^3)$ 对于矩阵求逆）；对多重共线性敏感（$X^T X$ 不可逆时无法求解）；只适用于线性模型。 3. **梯度下降法原理**： - 梯度下降法是一种迭代优化算法，用于最小化损失函数。 - 原理：从初始点开始，沿着损失函数的负梯度方向更新参数，步长由学习率控制。 - 更新公式：$\theta_{j+1} = \theta_j - \alpha \nabla J(\theta_j)$，其中 $\alpha$ 是学习率，$\nabla J$ 是梯度。 - 梯度：对于线性回归，$J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum (y_i - h_\theta(x_i))^2$，梯度为 $\nabla J = -\frac{1}{m} X^T (y - X\theta)$。 4. **梯度下降法优缺点**： - 优点：适用于大规模数据集和高维特征；灵活，可用于各种模型（如非线性回归、神经网络）；计算效率高（尤其随机梯度下降）。 - 缺点：可能收敛到局部最优解（对于非凸函数）；需要选择学习率和迭代次数；收敛速度慢；对初始点敏感。 5. **对比**： - 最小二乘法是直接解析法，梯度下降法是迭代法。 - 最小二乘法给出精确解，梯度下降法给出近似解。 - 最小二乘法在数据量小、特征少时高效；梯度下降法在数据量大时更优。 - 最小二乘法对数据条件要求严格，梯度下降法更鲁棒但需要调参。 添加引用： - 在解释时，自然地添加引用标识，如[^1]、[^2]等，基于提供的引用内容。 数学表达式： - 行内：使用$...$，例如$X^T X \beta = X^T y$。 - 独立公式：使用$$...$$并单独成段，例如正规方程。 生成相关问题： - 在最后，像示例一样，添加“相关问题”部分。 回答结构： 1. 引言：简要介绍主题。 2. 最小二乘法部分：原理、优缺点。 3. 梯度下降法部分：原理、优缺点。 4. 对比部分。 5. 相关问题。 确保LaTeX语法正确。</think>### 最小二乘法与梯度下降法的原理、优缺点及对比 最小二乘法和梯度下降法都是用于优化问题的常用方法，尤其在机器学习和统计建模中广泛应用于参数估计（如线性回归）。下面我将逐步解释它们的原理、优缺点，并进行对比分析。回答基于可靠的理论基础，并参考了相关文献[^1][^2][^3][^4]。 --- #### 1. 最小二乘法 **原理**： 最小二乘法是一种直接求解优化问题的解析方法，主要用于最小化误差平方和（即残差平方和）。在线性回归中，假设模型为 $y = X\beta + \epsilon$，其中 $y$ 是因变量向量，$X$ 是设计矩阵，$\beta$ 是参数向量，$\epsilon$ 是误差项。目标是通过最小化损失函数 $S(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - X_i \beta)^2$ 来估计 $\beta$。 - 通过求导令梯度为零： $$\frac{\partial S}{\partial \beta} = 0$$ 得到正规方程（normal equation）： $$X^T X \beta = X^T y$$ 如果 $X^T X$ 可逆，则解为： $$\beta = (X^T X)^{-1} X^T y$$ 这直接给出了全局最优解，无需迭代[^1][^4]。 **优缺点**： - **优点**： - 直接求解全局最优解：对于凸函数（如线性回归的平方损失），最小二乘法保证找到全局最小值，无局部最优风险[^4]。 - 无需迭代：计算一步到位，省去了学习率设置和迭代过程，计算效率高（尤其在小数据集）[^1][^4]。 - 数学原理清晰：基于微积分和矩阵运算，易于理解和推导[^4]。 - **缺点**： - 计算复杂度高：涉及矩阵求逆，时间复杂度为 $O(n^3)$（$n$ 为特征数），对于高维数据（如 $n > 10^4$）内存消耗大，甚至不可行[^4]。 - 对数据条件敏感：要求 $X^T X$ 满秩（无多重共线性），否则矩阵不可逆，需正则化（如岭回归）处理[^4]。 - 适用范围有限：仅适用于线性模型和平方损失函数，无法直接用于非线性问题[^1][^4]。 --- #### 2. 梯度下降法 **原理**： 梯度下降法是一种迭代优化算法，通过沿损失函数梯度的反方向逐步更新参数来最小化损失函数。核心思想是：从初始点 $\theta_0$ 开始，重复应用更新规则： $$\theta_{j+1} = \theta_j - \alpha \nabla J(\theta_j)$$ 其中 $\alpha$ 是学习率（步长），$\nabla J$ 是损失函数 $J(\theta)$ 的梯度。对于线性回归，损失函数常定义为 $J(\theta) = \frac{1}{2m} \sum_{i=1}^{m} (y_i - h_\theta(x_i))^2$（$m$ 为样本数），梯度计算为 $\nabla J = -\frac{1}{m} X^T (y - X\theta)$。算法迭代至收敛（如梯度接近零或达到最大迭代次数）[^2][^3]。 梯度下降有多种变体： - **批量梯度下降（BGD）**：每次迭代使用全部数据计算梯度，稳定性高但慢[^2]。 - **随机梯度下降（SGD）**：每次迭代随机选一个样本更新，速度快但波动大[^2]。 - **小批量梯度下降（Mini-batch GD）**：每次使用一小批样本（batch_size），平衡速度和精度[^2]。 **优缺点**： - **优点**： - 适用性广：可处理大规模数据和高维特征，时间复杂度低（如 SGD 为 $O(n)$），内存效率高[^2][^3]。 - 灵活扩展：适用于非线性模型（如神经网络）和非凸损失函数[^2][^4]。 - 易于实现：只需计算梯度和更新参数，代码实现简单[^2]。 - **缺点**： - 可能收敛到局部最优：对于非凸函数，初始点选择不当会导致局部最优解[^1][^2]。 - 需调参：学习率 $\alpha$ 设置敏感，过大导致震荡或不收敛，过小则收敛慢；还需选择迭代次数和 batch_size[^2][^3]。 - 收敛速度慢：接近最小值时梯度变小，收敛速度下降，且对初始值敏感[^1][^4]。 --- #### 3. 最小二乘法与梯度下降法的对比 | 方面 | 最小二乘法 | 梯度下降法 | 对比说明 | |--------------|--------------------------------|--------------------------------|----------| | **实现方法** | 直接求导解析解（非迭代） | 迭代更新（逐步逼近） | 最小二乘法是封闭解，梯度下降法需迭代[^1]。 | | **解的性质** | 全局最优（凸函数） | 可能局部最优（非凸函数） | 最小二乘法保证全局最优，梯度下降法依赖于初始点[^1][^4]。 | | **计算效率** | 小数据高效，大数据低效（$O(n^3)$） | 大数据高效（如 SGD $O(n)$） | 数据量大时梯度下降法更优，反之最小二乘法更快[^2][^4]。 | | **鲁棒性** | 对多重共线性敏感 | 对数据噪声和共线性更鲁棒 | 梯度下降法通过正则化易处理病态数据[^3][^4]。 | | **适用性** | 仅限线性模型和平方损失 | 广泛（线性/非线性模型） | 梯度下降法更灵活，可扩展至深度学习[^2][^4]。 | | **调参需求** | 无（无需学习率或迭代） | 需调学习率、迭代次数等 | 最小二乘法更简单，梯度下降法需经验调参[^1][^3]。 | **总结**：最小二乘法适合小规模、线性问题，追求精确解；梯度下降法适合大规模、复杂问题，强调灵活性和效率。实际应用中，常结合两者（如先用梯度下降法预处理，再用最小二乘法精调）[^1][^2][^3][^4]。 ---
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