军队文职(数学2+物理)——高等数学 4、函数的连续与间断点

百里牛金

于 2021-07-01 15:57:49 发布

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分类专栏：军队文职文章标签：高等数学

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一、函数的连续

当自变量的该变量 $\bigtriangleup x\rightarrow 0$ 时，函数的改变量 $\bigtriangleup y\rightarrow 0$ ，则称f(x)在x处连续。

① $\lim_{\Delta x \to 0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0$ ② $\lim_{x \to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

如果f(x)在 $x_{0}$ 处有极限，且且极限值就是函数值 $f(x_{0})$ ,那么f(x)在 $x_{0}$ 处连续。

1)函数连续的第一类问题——连续与极限的关系

连续 $\rightarrow$ 有极限

极限值就是函数值 $\rightleftharpoons$ 连续

2)函数连续的第二类问题——判断是否连续

解题思路：求在 $x_{0}$ 处的左极限、右极限、函数值

二、间断点

如果f(x)在 $x_{0}$ 处不连续，但f(x)在 $x_{0}$ 的某去心邻域内有定义，则称 $x_{0}$ 是f(x)的间断点。

第一类间断点(左右极限都存在)：

①可去间断点 $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)\neq f(x_{0})$

比如分段函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix} x(x\neq 0)\\ 5(x= 0) \end{matrix}\right.$ 可去间断点为 $x_{0}$ =5。

②跳跃间断点 $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)\neq \lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)$

比如分段函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix} x(x< 0)\\ x+1(x\geq 0) \end{matrix}\right.$ 可去间断点为 $x_{0}$ =5。

第二类间断点(左右极限至少有一个不存在)：

①无穷间断点： $\lim_{x \to x_{0}^{-}}f(x)$ 和 $\lim_{x \to x_{0}^{+}}f(x)$ 至少有一个是无穷

②震荡间断点： $\lim_{}f(x)$ 震荡不存在,如函数 $\lim_{x \to 0}f(x)=\sin(\frac{1}{x})$ ，在点x=0处极限完全不存在

由 $\lim_{x \to \infty }f(x)=\sin x$ 震荡不存在=》 $\lim_{x \to 0 }f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 震荡不存在

三、闭区间上连续函数的性质

定理 1（最值定理）：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，则在这个区间上一

定存在最大值 M 和最小值 m 。

推论：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上必有界。

定理 2（介值定理）：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，且其最大值和最小

值分别为 M 和 m ，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c ，在 [ a , b ] 上至少存在

一个 $\xi$ ，使得 f ( $\xi$ ) = c 。

即：闭区间上的连续函数必取得介于最大值和最小值之间的一切值。

定理 3（零点定理）：如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上连续，且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号，

则在 ( a , b )内至少存在一个点 $\xi$ ，使得 f ( $\xi$ ) = 0

零点定理是介值定理的一个特殊情况。

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