解决流网络中不存在s~u~t路径的节点的最大流问题

在流网络问题中，我们通常会假设对于所有的节点v ∈ V，都存在一条从源点s到汇点t经过v的路径。然而，当这一假设不成立时，即存在某些节点u，使得不存在路径s_ut，我们需要证明在这种情况下，网络中必然存在一个最大流f，使得对于所有节点v ∈ V，f(w,v) = f(v,w) = 0。

问题分析

1. 定义与假设：

   • 流网络G = (V, E)由节点集V和边集E组成。
   • s是源点，t是汇点。
   • 假设存在节点u ∈ V，使得不存在从s到t经过u的路径。

2. 关键观察：

   • 如果不存在从s到t经过u的路径，则u不在任何s到t的增广路径上。
   • 根据Ford-Fulkerson方法，最大流是由增广路径决定的，即增广路径上的流量增加直到找不到新的增广路径为止。

3. 结论：

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