数学结论在dsa中的应用

最新推荐文章于 2025-05-20 13:23:42 发布

lyh20021209

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分类专栏：数据结构与算法文章标签： leetcode 算法数据结构 java 切比雪夫曼哈顿

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文章介绍了如何通过坐标系顺时针旋转45度并放大，将二维点对的曼哈顿距离转化为一维问题求解。借助Java的TreeMap数据结构，实现对新坐标系下X和Y坐标的维护，从而找到最大和最小值计算切比雪夫距离。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1. LC 3102 最小化曼哈顿距离

VP周赛391 T4。这是个结论题目。

首先曼哈顿距离是需要两个数对而不是两个数去进行比较的，两个数之间你很轻易就知道差的绝对值最大是多少了，只要挑最大和最小两个数一减就可以了。

但是两个数对之间各项差的绝对值之和最大是多少就不好说了。假设第一个数对的第一项是所有第一项里最大的，第二个数对的第一项是所有第一项里最小的，他俩之间的曼哈顿距离不一定是最大的。所以就很难比。

这就引入了切比雪夫距离。

refs(from 0x3f的题解):

<https://leetcode.cn/problems/minimize-manhattan-distances/solutions/2716755/tu-jie-man-ha-dun-ju-chi-heng-deng-shi-b-op84>

将整个坐标系顺时针旋转45°，然后扩大根号二倍，则原坐标系上任意一点(x,y)的坐标变为(x’,y’)=(x+y,y-x)。

推导过程如下：

假设旋转矩阵为R
假设扩大矩阵为S
则transpose(x',y') = SR*transpose(x,y)

旋转矩阵：
1. 对于点（1，0），顺时针旋转45°，变成了(1/sqrt(2),-1/sqrt(2))
2. 对于点（0，1），顺时针旋转45°，变成了(1/sqrt(2),1/sqrt(2))
所以旋转矩阵为
[
	[ 1/sqrt(2),1/sqrt(2) ]
	[ -1/sqrt(2),1/sqrt(2) ]
]

扩大矩阵：
1. 对于点（1，0），扩大根号二倍，变成了(sqrt(2),0)
2. 对于点（0，1），扩大根号二倍，变成了(0,sqrt(2))
所以扩大矩阵为
[
	[ sqrt(2),0 ]
	[ 0,sqrt(2) ]
]

这样SR为
[
	[ 1,1 ]
	[-1,1 ]
]

所以(x',y') = (x+y,-x+y)

当我们把操作后的坐标投影到原先坐标系的x轴或y轴上后，原先两个点之间的距离，就变成了投影在x/y轴上的距离，这是因为投影把线段缩小到原来的1/sqrt(2)倍，正好和扩大sqrt(2)倍兑掉了。

如下图，红色线段是欧式距离，深蓝色线段是曼哈顿距离，灰色射线是新坐标系x轴和y轴，黑色射线是原坐标系x轴和y轴，橙色线段是切比雪夫距离，就等于原坐标系的曼哈顿距离，也就是橙色线段的长度等于左边图中两条深蓝色线段的长度。

这样就做了一个很nb的事情，我们把原先二维点对的距离给降维了，变成一维的了，这样就能选一个最大值，选一个最小值，然后相减得到最大的绝对值。

需要注意的是，有时候投影完的距离会是原先两个折线长度的差而不是和，比如上图中如果投影到y会发现切比雪夫距离是2-1=1而不是3。解决这个问题的方式就是我们把投影到x和投影到y轴上的两个线段的长度取一个较大值，这样就是切比雪夫距离了。

java没有sortedList，所以可以TreeMap来维护，一个专门用来存新坐标系下的x坐标，一个存新坐标系下的y的坐标。然后枚举被删除的，从剩下的里面挑一个最大的，一个最小的，相减，更新答案。记得最大最小都要各自选x和y，然后相减完取个较大值作为切比雪夫距离。

import java.util.TreeMap;

class Solution {
    public int minimumDistance(int[][] points) {
        TreeMap<Integer, Integer> xs = new TreeMap<>();
        TreeMap<Integer, Integer> ys = new TreeMap<>();

        for (int[] point : points) {
            int x = point[0];
            int y = point[1];

            xs.merge(x+y,1,Integer::sum);
            ys.merge(y-x,1,Integer::sum);
        }

        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int[] point : points) {
            int x = point[0];
            int y = point[1];

            int x_ = x + y;
            int y_ = y - x;

            if(xs.get(x_)==1){
                xs.remove(x_);
            }else{
                xs.merge(x_,-1,Integer::sum);
            }

            if(ys.get(y_)==1){
                ys.remove(y_);
            }else{
                ys.merge(y_,-1,Integer::sum);
            }

            ans = Math.min(ans,Math.max(
                    xs.lastKey()-xs.firstKey(),ys.lastKey()-ys.firstKey()
            ));

            xs.merge(x_,1,Integer::sum);
            ys.merge(y_,1,Integer::sum);
        }

        return ans;
    }
}