Miller Rabin素数测试复习小记

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#素数测试 #数论

于 2018-01-03 17:26:02 首次发布

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素数测试

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本文介绍了基于费马小定理和二次探测定理的Miller-Rabin素性测试方法。该方法通过一系列数学运算判断一个数是否为素数，包括将p-1分解为2的幂次与奇数的乘积，并进行随机选择的底数测试。

Preface

为什么是复习小记？因为忘了个精光QAQ

Miller Rabin

素数测试基于以下两个原理：

费马小定理

若 $(a, p) = 1$ 且 $p$ 是质数，则 $a^{p-1}≡1\ (mod\ p)$ ，反之不一定成立

二次探测定理

若 $p$ 是素数，则 $p)x^2≡1\left(\mod p \right)$ 的解只有 $x = 1$ 或 $x = p - 1 (- 1)$
也即如果 $p)x^2≡1 \left(\mod p\right)$ 且 $x≠1,x≠p−1x\neq1,x\neq p-1$ ，则 $p$ 必定是合数

步骤

令 $p-1=2^t*u$
随机一个 $a∈[2,p−1]a\in[2,p-1]$
从 $x=a^u$ 开始对 $x$ 平方 $t$ 次。同时对 $x$ 检验二次探测定理。
最后检验 $x$ 是否等于 $1$ （费马小定理），并回到操作2执行多次

板子

bool check(ll n,ll p,ll u,ll t)
{
	ll x=qmi(n,t,p);
	fo(i,1,u)
	{
		ll nxt=qmul(x,x,p);
		if(nxt==1 && x!=1 && x!=p-1) return 0;
		x=nxt;
	}
	return x==1;
}
bool miller_rabin(ll p)
{
	if(p==2) return 1;
	if(p<2 || !(p&1)) return 0;
	ll u=0,t=p-1;
	for(;t%2==0;t/=2) u++;
	fo(i,1,10)
	{
		ll n=rand()%(p-2)+2;
		if(!check(n,p,u,t)) return 0;
	}
	return 1;
}