Pollard's Rho 快速质因数分解复习小记

最新推荐文章于 2020-08-26 22:34:08 发布

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本文介绍了一种高效的质因数分解算法——Pollard's Rho 算法，并通过分治思想将其应用于较大整数的质因数分解。通过随机选择参数 c 和利用生日悖论提高找到质因数的概率，该算法能够有效地解决大整数的质因数分解问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

为什么又是复习小记？因为又忘了个精光QAQ

Pollard’s Rho

分治思想

我们实现过程 $find(n)$ 表示对 $n$ 进行质因数分解。
如果能找到任意一个 $d|n,d\neq 1,d\neq n$ ，那么就可以转化成两个子问题 $find(d)$ 与 $find(n/d)$ 。当然如果 $n$ 本身就是质数那么肯定是找不到的，所以先用miller rabin质数测试判定一次

随机算法的改进

如果每次随机 $x$ 并判定 $(x,n)$ 是否等于 $1$ ，效率太低

基于生日悖论的概率原理

从 $1$ 到 $n$ 中选 $k$ 个数，其中至少一对数之差为 $n$ 的因数的概率随着 $k$ 增大而迅速增大。
这启示我们判定 $(abs(x-y),n)$ 是否为 $1$ ，这样成功概率会更高

步骤

定义函数 $f(x)=x^2+c$ ， $c$ 随机给出

注意到因为是模

n $n$ 意义下，所以

x $x$ 的取值会成环，类似

ρ $ρ$

$x$ 每次走一步， $y$ 每到 $2^j$ 的时间点走一次（最玄学的部分）
每次判定 $(abs(x-y),n)$ 是否为 $1$
若 $x=y$ 则退出，重新随机

板子

ll pollard_rho(ll n,ll c)
{
    int i=1,k=2;
    ll x=rand()%n;ll y=x;
    for(;;)
    {
        i++;
        x=(qmul(x,x,n)+c)%n;
        ll d=gcd(abs(x-y),n);
        if(d!=1 && d!=n) return d;
        if(y==x) return n;
        if(i==k) y=x,k<<=1;
    }
}
void find(ll n)
{
    if(n==1) return;
    if(miller_rabin(n))
    {
        a[++num]=n;
        return;
    }
    ll d=n;
    while(d>=n) d=pollard_rho(n,rand()%(n-1)+1);
    find(d);
    while(n%d==0) n/=d;
    find(n);
}