【BZOJ 3060】【POI2012】Tour de Byteotia/【JZOJ 5442】 荒诞

Description

有一个n个点，m条边的无向图，选择第i个点的代价为ci
特别地，这张图中的任意两点间不存在节点数超过10的简单路径。
要求选择一些点，使得最后每个点要么自己被选，要么直接相连中的点至少有一个被选，且使得代价和最小
对于100%的测试点，满足1<=n<=2*10^4,0<=m<=2.5*10^4,0<=ci<=10^4

Analysis

这是一道把npc问题带上特殊性质，从而使得有一些奇技能做的题
考虑利用题目中加粗条件。这个条件意味着每个联通块的dfs树深度不超过10
10很小，由于是个图，条件很难满足，我们可以考虑状压，把所有点状态存起来
设f[i][s]表示，当前做到第i个点，它到根的路径上的点的状态为s的代价（为什么不是子树，因为子树里的点数量没有限制）
s是三进制状态，0/1/2分别表示 未选且未被覆盖/未选且被覆盖/选
（如果是二进制你会发现做不了）
我们发现这样可以从上到下dp了！
考虑怎样利用f来满足条件
一个一个子树做，做完了就把满足该子树的代价上传回来，然后再下去做第二个子树（此时f里面已经包含了做完第一个子树所需代价了）
最后复杂度为$O(n*3^{10}*10)$，实测跑不到
我们不能被复杂度吓跑，而应该套路地去思考

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)
#define efo(i,v,u) for(int i=last[v],u=to[last[v]];i;i=next[i],u=to[i])
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
char ch;
void read(int &n)
{
    int t=0;int p=1;
    for(ch=getchar();!('0'<=ch && ch<='9');ch=getchar())if(ch=='0') p=-1;
    for(;'0'<=ch && ch<='9';ch=getchar()) t=t*10+ch-'0';
    n=t*p;
}
const int N=5e4+6,M=5e4+5,INF=2139062143;
int n,m,ans,_3[13],c[N],tot,to[M],next[M],last[N];
void link(int u,int v){to[++tot]=v,next[tot]=last[u],last[u]=tot;}
bool vis[N],ok[13];
int a[13],dep[N],f[2][100000];
void dfs(int v,int fr,int d)
{
    a[d]=v,dep[v]=d,vis[v]=1;
    bool q=d&1;
    efo(i,v,u) if(u!=fr && !vis[u])
    {
        mset(ok,0);
        mset(f[q^1],127);
        efo(i,u,p) if(vis[p]) ok[dep[p]]=1;
        fo(s,0,_3[d+1]-1) if(f[q][s]!=INF)
        {
            int s1=s;
            fo(j,0,d) if((s/_3[j])%3==2)
                if(ok[j]) {s1+=_3[d+1];break;}
            f[q^1][s1]=f[q][s];
            s1=s+2*_3[d+1];
            fo(j,0,d) if(ok[j] && (s/_3[j])%3==0) s1+=_3[j];
            f[q^1][s1]=min(f[q^1][s1],f[q][s]+c[u]);
        }
        dfs(u,v,d+1);
        fo(s,0,_3[d+1]-1) f[q][s]=min(f[q^1][s+_3[d+1]],f[q^1][s+2*_3[d+1]]);
    }
}
int main()
{
    freopen("absurdity.in","r",stdin);
    freopen("absurdity.out","w",stdout);
    _3[0]=1;
    fo(i,1,12) _3[i]=_3[i-1]*3;
    int u,v;
    read(n),read(m);
    fo(i,1,n) read(c[i]);
    fo(i,1,m) read(u),read(v),link(u,v),link(v,u);
    int ans=0;
    fo(i,1,n)
        if(!vis[i])
        {
            mset(f[0],127);
            f[0][0]=0,f[0][2]=c[i];
            dfs(i,i,0);
            ans+=min(f[0][1],f[0][2]);
        }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}