洛谷 P3195 / bzoj 1010【斜率优化DP】

willem248

于 2022-09-23 16:59:35 发布

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分类专栏：洛谷文章标签：深度优先算法图论

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本文介绍如何使用动态规划和区间搜索技术解决一个问题，即在给定区间内找到使目标函数Y(x)等于某个常数p的最佳点。通过计算斜率和调整搜索策略，实现对函数值的高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 2e6 + 10;
int n, p;
int s[N], h, t, q[N], f[N];

int X(int x)
{
    return s[x];
}

int Y(int x)
{
    return f[x] + X(x) * X(x);
}

int K(int x)
{
    return 2 * (X(x) - p);
}

double slope(int x, int y)
{
    return double(Y(y) - Y(x)) / double(X(y) - X(x));
}

signed main()
{
    cin >> n >> p;
    p ++;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int x;
        cin >> x;
        s[i] = s[i - 1] + x + 1;
    }
    h = 1, t = 0;
    q[++ t] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int k = K(i);
        while (h < t && Y(q[h]) - k * X(q[h]) >= Y(q[h + 1]) - k * X(q[h + 1])) 
            h ++;
        f[i] = f[q[h]] + (s[i] - s[q[h]] - p) * (s[i] - s[q[h]] - p);
        while (h < t && slope(q[t], q[t - 1]) >= slope(q[t], i))
            t --;
        q[++ t] = i;
    }
    cout << f[n] << '\n';
    return 0;
}