你所不知道的牛顿

你所不知道的牛顿

3月28号是牛顿的忌日,但是知道的人很少,其实牛顿老师在科学圈里曾经很有权势,被女王封了爵位成了贵族,人称牛爵爷,官至皇家造币局局长兼皇家学会会长。如果阿尔伯特没有辞了以色列总统的话和他有一拼。


说他有权势并不仅是官大,主要是贡献大。如果17世纪就有诺贝尔奖的话,牛顿老师至少能连续垄断4届物理学奖(分光计;力学体系的构建;反射望远镜;万有引力),同时为了表彰他在炼金方面的造诣,再奉送他一届化学奖。而且这孙子鼓捣出了流数术,所以菲尔兹数学奖也要给他。要知道,他的这些发现基本都是在26岁以前获得的,30岁以后牛顿就开始玩票了,成天琢磨上帝和炼金,以及怎样把莱布尼茨搞臭,捎带手的把以前的发现整理成书。所以你能想象到他在当时的欧洲是如何的一呼万应,敢跟他叫板的只有莱布尼茨和大主教贝克莱。牛老师死的时候,全英国的名流以给他扶柩为荣,全欧洲的名流蜂拥伦敦。来自法国的傻丅逼文科生伏尔泰在国葬现场大受刺激,回去就写了首诗,嫉妒之情溢于言表。


牛顿老师的一生是天才的一生,战斗的一生,也是孤独的一生。一辈子没有朋友,也没有结过婚,很可能到死都是处男,关于牛顿是否处男的问题,由于篇幅过长,我将在另一篇文中论证。当然他肯定不会孤独,因为科学的世界里乐趣无限,快丅感连连。出乎世俗想象的是,科学其实远比任何娘们儿都风骚,玩科学比玩女人爽得多,得到一个成果所获得的高潮强烈而持久,不仅有快丅感,更有巨大的自我认同感,远胜于那几秒寒颤之后无边的空虚与落寞。所以陈景润其实是沉溺于美色不能自拔,身体弱架不住高潮过度被爽死了。


牛顿老师茕茕孑立,形影相吊的原因是多方面的。首先他生性孤傲,自恃高才,瞅谁都是傻丅逼,当然不会真心跟傻丅逼交朋友。同时在他眼里人是不分男女的,只有傻丅逼和巨傻丅逼两种,所以他对女色没兴趣也就可以理解了。有婚介中心给他介绍过几个名媛,拾掇拾掇都是当王妃的坯子,但一见面就受不了牛顿的牛逼烘烘和不知所云。比如有次相亲,他把姑娘的手指头塞进了烟斗。


另一方面是外在的,不光他不愿意交朋友,也没有人真正想跟牛顿当朋友,结交他的人都是有目的的。人们对他只有敬畏和仰慕,并不真的喜欢他。这道理其实很浅显,绝大部分人都热衷于跟比自己傻的人待着,很少有人愿意在人精的身边衬托自己的二逼。所以好多人都喜欢小动物和小孩子,就是因为这些东西够傻。不少姑娘一见到小猫小狗小人儿都会迫不及待的搂抱,接踵而至的就是很嗲的说好可爱欧~,听得我阴毛都竖起来了。有时候可爱和憨态可掬的潜台词就是弱智。小猴子也很好玩,喜欢的人就少多了,因为猴子机灵到能戏弄人,那些人没有驾驭猴子的自信。同理,喜欢小孩的都是喜欢他们的单纯与缺心眼,在他们眼里,小孩跟小动物没有本质区别,也都是四条腿走路,露着屁丅眼随时拉撒。如果遇到一个小天才,3岁就会心算三位数乘法或者知道傻丅逼二字的正确写法,她们一定会骇破了胆。所以那些喜欢养猫狗的女士们别再标榜自己有爱心了,你们其实比谁都缺德。我从不喜欢猫狗,这是因为我敬畏大自然的生灵而不忍戏弄它们;我也不喜欢小孩,因为我把他们当作一个大写的人而不是小畜丅生看待。


大家不喜欢牛顿的另一个原因是他性格暴戾乖张。长年在他身边的人回忆说,牛顿在人前只笑过两回,其中一次还是嘲笑:有人问他,欧几里得的《几何原本》那么老朽,不知道还有什么价值。牛顿闻听放声大笑。而且他人品太差,跟谁都打架。众所周知他从小就有校园暴力的记录,胖子同学不小心踩了他的风车,他抬手就把胖子打哭了,我们的教科书居然说这是他有志气的表现。长大了不以拳脚论高下,他就雇用枪手大骂莱布尼茨,甚至不惜化名亲自去骂,人品至此真是无以复加。莱布尼茨若不是脸皮厚早就跟纳什一样疯了,而且牛顿老师肯定会拍个片子叫《丑陋心灵》继续恶心人家。


关于牛顿的另一个谎言是他的谦虚,证据就是牛顿老师说过两段著名的话,一段是站在巨人肩膀上,另一段是海边捡石头子。这确实很有迷惑性,我第一次听到后感动的直冒鼻涕泡。但任何话语都是有语境的,巨人肩膀那一句的语境是这样的:胡克其实早就发现了万有引力定律并推导出了正确的公式,但由于数学不好,他只能勉强解释行星绕日的圆周运动,而且他没有认识到支配天体运行的力量其实是普遍存在的,是“万有”的。第谷早在100年前就发现了行星的公转其实是椭圆运动,开普勒甚至提出了行星运动三定律。所以科学界对胡克的成果不太重视。后来数学小狂人牛顿用微积分极其圆满的解决了这个问题并把他提出的力学三条基本定律成功推广到了星系空间,改变了自从亚里士多德以来公认的天地不一的旧观点,被科学界奉为伟大的发现。于是胡克大怒,指责牛顿剽窃了自己的成果。牛顿尖酸刻薄的回敬道:是啊,我他妈还真是站在巨人的肩膀上呢!这本是一句反语,至少不是真的想客气一下。几百年后罗永浩说自己只是站在巨人的肩膀上也是这意思。但后人出于塑造完人的目的,只保留了孤立的原话而去掉了语境,变成了一句彻头彻尾的谦辞。同样的情况出现在另一段话上:牛顿晚年因为树敌过多,来自欧洲大陆比如法德的一些新锐科学家质问他:“牛顿你丫牛逼什么啊?”牛顿此时完全的展现了他科学界大宗师的风度与水平,潇洒的回敬道:“我没有什么牛逼的。我只是一个在海边独自玩耍的小孩,偶尔会为捡到几个美丽的贝壳而欣喜若狂,却对面前浩瀚的真理大海无所察觉。”意思是说你们他妈的连贝壳都看不见有什么资格评价我?几十年的官场毕竟不是白混的,牛老师甩片儿汤话的水平已经到了信手拈来闲庭信步宠辱不惊的境界,所以我们只记住了这一段优美至极、深邃如同诗歌的话语。


牛顿老师人品差,不谦虚,没朋友,按现在的说法这是典型的高智商低情商,事业不会成功。但我们也发现,当智商高到一定程度的时候是可以取代情商的。所以那些说自己情商低的所谓天才们,你们没成功只是他妈的还不够聪明而已,怨不着人家情商。要知道牛顿是个遗腹子和早产儿,出生时体重不到5斤,没吃过
DHA和RHA配方的奶粉。亲娘改嫁后跟文盲姥姥度过无聊的童年,没有任何的早期智力开发和学前启蒙,7岁上学以前脑子里空空如也,牛妈妈对他的期望仅仅是认识点字然后回家务农。但是牛顿上中学后已经熟练掌握了拉丁语希腊语西班牙语和英语,然后被推荐进了剑桥,20出头就当了卢卡斯教席的终身教授。如果他能活到今天,我一定会请他当熊博网的形象代言人兼吉祥物。


晚年的牛顿除了升官发财再无其他骄傲之处,而且官迷心窍,没退休一直干到85岁寿终。当然他并没闲着,写了150万字的神学著作,同时一心扑在化学事业上,在家里盖了窑子,拿出年轻时搞物理的劲头玩命试验。但这次他的出发点就错了,总是希望从黄铜和煤渣中提炼出黄金。要知道化学反应只能改变分子并不能改变原子,能给原子做变性手术的只能是核反应。他违背了化学定律里的物质不灭原则,所以虾米了。


最后,说两段悼词。一段是他的墓志铭:伊萨克牛顿爵士,安葬在这里。他以超乎常人的智力,第一个证明了行星的运动与形状;彗星轨道与海洋的潮汐。他孜孜不倦地研究,光线的各种不同的折射角,颜色所产生的种种性质。让人类欢呼,曾经存在过这样一位,伟大的人类之光。另一段是英国诗人写的:自然和自然的规律隐藏在茫茫黑夜之中。上帝说:让牛顿降生吧。于是一片光明。

不知道为什么,这两段总是让我有点感动。
<think>我们被要求详细解释牛顿法求根的原理、应用及实现方法。参考用户提供的引用资料,特别是引用[2]和[4]中关于牛顿法的内容。 牛顿法(Newton's Method)是一种在实数域和复数域上求解方程的迭代方法。它利用函数的泰勒级数的前几项来寻找方程的根。 原理: 假设我们要求解方程$f(x)=0$的根。首先,我们选择一个初始近似值$x_0$,然后利用函数$f(x)$在$x_0$处的泰勒展开: $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ 令$f(x)=0$,则有: $$0 \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ 解出$x$: $$x \approx x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$ 这样,我们就得到了一个更好的近似值$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$。重复这个过程,得到迭代公式: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ 直到满足精度要求(例如$|x_{n+1}-x_n|<\epsilon$或$|f(x_{n+1})|<\epsilon$)为止。 应用: 牛顿法广泛应用于科学计算、工程优化和机器学习等领域。它特别适用于求非线性方程的根,也常用于优化问题(此时是求目标函数的导数的根,即函数的极值点)。 实现步骤(以求解$f(x)=0$为例): 1. 选择初始近似值$x_0$和精度要求$\epsilon$。 2. 循环迭代直到满足精度要求: a. 计算函数值$f(x_n)$和导数值$f'(x_n)$。 b. 如果$f'(x_n)$接近0(避免除以0),则算法可能失败。 c. 计算下一个近似值:$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。 d. 检查终止条件:若$|x_{n+1}-x_n|<\epsilon$或$|f(x_{n+1})|<\epsilon$,则跳出循环。 3. 返回$x_{n+1}$作为方程的近似根。 与二分法对比: 牛顿法的收敛速度是二阶的(在根附近,每次迭代的有效数字大约会翻倍),而二分法是一阶线性收敛。因此,牛顿法通常比二分法更快。但是,牛顿法需要函数的导数,且初始值的选择很重要,如果初始值离根太远,可能收敛。 实现示例(Python): 我们以求解方程$x^2-2=0$(即求$\sqrt{2}$)为例。 ```python def newton_method(f, df, x0, epsilon=1e-6, max_iter=100): """ 使用牛顿法求解方程的根 :param f: 函数 :param df: 函数的导数 :param x0: 初始值 :param epsilon: 容差 :param max_iter: 最大迭代次数 :return: 近似根 """ xn = x0 for n in range(max_iter): fxn = f(xn) if abs(fxn) < epsilon: print(f'在{n}次迭代后收敛') return xn dfxn = df(xn) if abs(dfxn) < epsilon: # 导数为0,无法继续迭代 break xn_next = xn - fxn / dfxn if abs(xn_next - xn) < epsilon: print(f'在{n}次迭代后收敛') return xn_next xn = xn_next print('达到最大迭代次数,未收敛') return xn # 定义函数和导数 f = lambda x: x**2 - 2 df = lambda x: 2*x root = newton_method(f, df, x0=2.0) print(f'方程的近似根为: {root:.6f}') ``` 以上代码将输出: 在3次迭代后收敛 方程的近似根为: 1.414214 注意事项: - 牛顿法对初始值敏感,同的初始值可能导致收敛到同的根(如果方程有多个根)或收敛。 - 需要提供函数的导数,如果导数计算复杂,可以使用数值导数(如中心差分法)近似,但这样会降低收敛速度。 根据引用[3]和[4],牛顿法在优化问题中也有重要应用,此时是求目标函数的导数为零的点。在优化问题中,迭代公式为: $$x_{n+1} = x_n - [Hf(x_n)]^{-1} \nabla f(x_n)$$ 其中$Hf(x_n)$是Hessian矩阵(二阶偏导数矩阵),$\nabla f(x_n)$是梯度(一阶偏导数向量)。但求逆矩阵计算量大,因此有了拟牛顿法(如BFGS)来近似Hessian矩阵。 总结: 牛顿法是一种高效的求根方法,尤其当初始值接近根时收敛非常快。但需要注意其收敛性依赖于初始值和函数的性质(如导数为零)。 下面生成相关问题: </think>### 牛顿法求根:原理、应用与实现 #### 一、数学原理 牛顿法(Newton's Method)是一种高效的非线性方程求根迭代算法,基于泰勒展开的局部线性近似。对于方程$f(x)=0$,其迭代公式为: $$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ **推导过程**(参考引用[2]): 1. 在初始点$x_0$处进行泰勒展开: $$f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + O((x-x_0)^2)$$ 2. 令$f(x)=0$并忽略高阶项: $$0 \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$$ 3. 解得迭代公式: $$x = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$ **收敛特性**: - 二阶收敛:$|e_{n+1}| \approx k|e_n|^2$,收敛速度远快于二分法(线性收敛)[^4] - 收敛条件:要求$f'(x)$在根附近连续且为零 #### 二、应用场景 1. **工程计算**(引用[1],[4]): - 物理方程求根(如材料应力分析) - 电路非线性元件建模 - 化工反应平衡计算 2. **优化问题**(引用[3]): - 机器学习损失函数优化 - 经济模型参数拟合 - 机器人运动轨迹规划 3. **科学计算**: - 微分方程数值解 - 复杂函数零点定位 - 分形几何生成(如Julia集) #### 三、Python实现 ```python def newton_method(f, df, x0, tol=1e-6, max_iter=100): """ 牛顿法求根实现 :param f: 目标函数 :param df: 导函数 :param x0: 初始值 :param tol: 容差 $|f(x)| < \text{tol}$ :param max_iter: 最大迭代次数 :return: 近似根 """ xn = x0 for n in range(max_iter): fxn = f(xn) if abs(fxn) < tol: print(f'在{n}次迭代后收敛') return xn dfxn = df(xn) if abs(dfxn) < 1e-10: # 防止除零 raise ValueError("导数为零,无法继续迭代") xn = xn - fxn / dfxn raise RuntimeError(f"超过{max_iter}次迭代未收敛") # 示例:求 $x^2 - 2 = 0$ 的根(√2) f = lambda x: x**2 - 2 df = lambda x: 2*x root = newton_method(f, df, x0=1.0) print(f'√2 ≈ {root:.8f}') # 输出: √2 ≈ 1.41421356 ``` #### 四、与二分法对比(引用[1]) | 特性 | 牛顿法 | 二分法 | |--------------|----------------------------|----------------------| | 收敛速度 | 二阶收敛 $O(n^2)$ | 线性收敛 $O(n)$ | | 初始值要求 | 需靠近真解 | 只需确定根所在区间 | | 导数需求 | 需要一阶导数 | 需要导数 | | 计算效率 | 高(迭代次数少) | 低(迭代次数多) | | 稳定性 | 可能发散 | 绝对稳定 | | 适用函数 | 光滑函数 | 连续函数 | #### 五、工程实践建议 1. **初始值选择**: - 先用3次二分法缩小范围,再用牛顿法加速[^1] $$x_0 = \frac{a+b}{2} + \frac{|f(b)|(b-a)}{2(|f(a)|+|f(b)|)}$$ 2. **混合算法**(引用[3]): ```python def hybrid_method(f, df, a, b, tol=1e-6): # 先用二分法迭代3次 for _ in range(3): c = (a + b)/2 if f(a)*f(c) < 0: b = c else: a = c # 再用牛顿法 return newton_method(f, df, (a+b)/2, tol) ``` 3. **异常处理**: - 当$|f'(x_n)| < \epsilon$时切换为二分法 - 设置迭代次数上限防止死循环 #### 六、收敛性证明 设真解为$r$,误差$e_n = r - x_n$。代入迭代公式: $$e_{n+1} = e_n + \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ 由泰勒展开: $$0 = f(r) = f(x_n + e_n) = f(x_n) + e_nf'(x_n) + \frac{e_n^2}{2}f''(\xi)$$ 整理得: $$e_{n+1} = -\frac{e_n^2 f''(\xi)}{2f'(x_n)}$$ 故有二次收敛性$|e_{n+1}| \sim |e_n|^2$[^2][^4]。 --- ### 常见问题解决方案 1. **导数为零**:改用割线法(Secant Method) $$x_{n+1} = x_n - f(x_n)\frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$ 2. **震荡发散**:添加松弛因子 $$x_{n+1} = x_n - \omega \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}, \quad \omega \in (0,1]$$ 3. **高维推广**: $$\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{x}_n - [J_f(\mathbf{x}_n)]^{-1}f(\mathbf{x}_n)$$ 其中$J_f$是雅可比矩阵 ---
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