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但贝塞尔曲线（Bézier curve）并不是y关于x的方程，而是(x,y)关于一个参数t的方程。利用同样的方法，我们也可以使用y求出若干个t。然后比较用x求出的t和用y求出的t，如果都在[0,1]范围内，而且是接近的，那我们可以认为点P就在贝塞尔曲线上。假设贝塞尔曲线经过点P0(x0,y0)、P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)，现在要判断点P(x,y)是否在曲线上。现在，如果我们需要判断一个点P(x,y)是否在贝塞尔曲线上，就要找到一个t，代入方程中，求出(x,y)跟P一致。...

如果三点非共线，那么三点必然共面。如果现在有第四点，如何判断这个点跟前三点共面呢？如果有超过四个点，实际上也是从第四个点开始，一个个判断是否跟前三个点共面。可以使用向量和行列式的方法去计算。我们先来看行列式的几何意义。对于二阶行列式，它的行向量组成了一个平行四边形，而其值就是平行四边形的面积。类似的，对于三阶行列式，它的行向量组成了一个平行六面体，而其值就是这个平行六面体的体积。四个点刚好能形成三个向量，而如果四点不共面，那么这个平行六面体的体积就不会是0。反过来说，如果平行六面体的体积是0，也就是如果行列

我们知道，直线的一般方程是，而平面的一般方程是。对于直线方程，有ABC三个未知数。但我们知道，已知两个点只能求出两个未知数。对于平面方程是同理的。事实上，一般方程里的参数是有冗余的。例如，和这两个方程事实上描述的是同一条直线。那我们可不可以直接把一个系数约掉呢，例如变成。很遗憾这行不通，因为A有可能是0。任何一个参数都有可能是0，无法约掉。这样的话，在求解的时候，我们就需要分类讨论。先判断某一个参数是否为0，如果是0，则可以去掉该参数。少了一个参数，点数和未知数的数量相同，就可以求解了。如果没有参数是0，那

在以下的描述方法中，我们用到：圆心：(x0,y0,z0)，需3个数值。弧起点：(x1,y1,z1)，需3个数值。弧终点：(x2,y2,z2)，需3个数值。弧方向：(xd,yd,zd)，长度不重要，只需表达出方向，所以需要2个数值。弧度：θ，需1个数值。描述方法：1、圆心+弧起点+弧终点+弧方向需要11个数值。可以描述所有圆弧。2、圆心+弧起点+弧方向+弧度需要9个数值。可以描述所有圆弧。3、弧起点+弧终点+弧方向需要8个数值。不能描述圆周。描述圆周时，弧起点和弧终点重合。4、弧起点+弧终点+弧上任一点需要9

本方法适用于二维和三维的情况。假设线段AB和线段CD交于点K，如下图所示：由于三角形AKM和三角形BKN相似，故有： （1）由于三角形ACD和BCD共底，故有： （2）根据两向量叉乘数值为其围成的平行四边形的面积，有： （3）综合（1）（2）（3）式，有 （4）假设原点为O，有 （5） （6）结合（4）（5）（6）式，有 （7）根据（7）式即可求出K的坐标。...

我们在上一篇文章中介绍了判断一个点是否在图形内的算法，那如果是大量的点呢？例如我们要在一个2000*2000的画布中，把所有在图形内的点填充为红色，在外面的填充为绿色。这样的话，我们就要对4百万个点进行区域判断，这个计算量是非常巨大的。对于上一篇中介绍的方法，我们有一些优化的空间，例如：（1）因为三角函数的计算是很耗时的，先把cos和sin值求出来。（2）矩形的判断是比较快速的，可以先求出椭圆和多边形的外接矩形，如果在外接矩形外，肯定就不会在图形内了。但是这样的优化之后，计算量仍然.

我们在下面的介绍中，只讨论三种图形，分别是矩形（包括正方形）、椭圆（包括圆）和多边形。对于矩形和椭圆，比较常见的描述方法是(x,y,w,h)，另外再加一个旋转角度a（绕中心旋转）。而对于多边形，一般的描述方法是一个二维点的数组。事实上矩形也是多边形（四边形），因为它的描述方法不一样，所以我们分开讨论。一、无旋转矩形这是最简单的一种情况，判断方法也简单。只要判断点的横坐标是否在[x,x+w]、纵坐标是否是[y,y+h]内即可。二、旋转矩形对于旋转矩形，比较常规的做法是：..

云图和热力图是很像的两种图，它们的区别在于，云图的数据源要求图的每一个区域都有数值，而热力图是在图上的某些离散点有数值。事实上，云图可以看作是高密度的热力图。云图在开始绘制云图之前，我们先来研究云图的数据源。假设我们现在要绘制以下数据的云图：这是一张5*4的表格，可能我们要绘制的云图是500*400这个大小。我们很容易会想到这样一种绘制方法：（1）表格的一个格子代表一个像素，数值代表一种颜色，如下图所示：（2）把这张5*4的图片放大100倍，得到500*400的云图。这种方.

在使用Visio等软件时，图形和图形之间可能需要使用连接线，如下图所示：一般连接线会有3种，分别是折线、直线和Bezier曲线。上图中的蓝线是Bezier曲线，绿线是直线，黑线是折线。直线过于简单，无需算法讨论，而Bezier曲线将在后续的文章中讨论。本文主要讨论折线的生成算法。二、折线形态根据图形的相对位置和箭头的方向，折线会有不同的形态。就分段数来说，会出现2、3、4、5段的情况，如下图所示（事实上还有1段的情况，由于简单，本文不讨论）：对一个图形来说，其他图形相对于

如下图所示，黑色多边形是原多边形，绿色多边形是扩展多边形，红色多边形是收缩多边形。算法要实现的效果就是这样。首先，我们用一个点的数组表示多边形，形如Point[] points。接下来是数学公式的推导，我们用向量法解决这个问题。对于每一个点，它都有两个邻点，如下图所示，点P的邻点是P1和P2。那我们要求的，其实就是点Q。Q到PP1和PP2的距离都是L。如图所示，明显向量PQ就是向量...

问题描述：已知左上角点(lon1,lat1)，右下角点(lon2,lat2)，以及当前地图的放大倍数zoom，把左上角点到右下角点之间的地图区域保存成图片。一、基础知识一般的地图是由一张张瓦片式的图片拼成的，就像装修时铺地砖一样。而且这些瓦片都是正方形的，比较普遍的大小是256*256。当zoom为0时，整个世界的地图就是一张256*256的图片。当zoom为1时，世界地图就被切成了2^1...

在我们的屏幕上，有一张地图，这张地图经过缩放、平移、旋转，最终地理坐标和屏幕坐标的关系大致如下图所示：这种关系要怎么描述呢？我们可以假设地图是一张纸，而屏幕是一堵墙。只要我们有两个图钉，我们就能把纸定在墙上。我们把这两个点称为锚点。锚点在屏幕坐标系上的坐标是(x1,y1)和(x2,y2)，对应在地理坐标系上的坐标是(lon1,lat1)和(lon2,lat2)。那现在的问题就变成了，已...

三角形的外接圆，就是其圆心到三个顶点的距离都相等。设三角形的坐标为(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，圆心坐标为(x,y)，那么它们满足以下方程组：(x-x1)^2+(y-y1)^2=(x-x2)^2+(y-y2)^2(x-x1)^2+(y-y1)^2=(x-x3)^2+(y-y3)^2解方程之后，可以得到x和y的表达式。我硬着头皮解了一次，发现表达式很复杂，没办法化简。公...

大多时候，我们的动画都是线性变化的。例如，一个点从0运动到1，假如中间有8个点，那就应该是0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8。但有的时候，我们需要一种非线性的变化。例如我们做一架飞机起飞，它的变化应该是从慢到快的。又比如一个小球落地，它的轨迹应该是抛物线，而且还会弹起。要做到这些，就需要用到缓动函数（EasingFunction）。很多语言都提供了缓动函数库，但如我...

虽然标题列出了很多种“码”，但其实有些是一个意思，只是叫法不一样而已。我所介绍的算法也不是说绝对严谨、不能破解的，它们只是适用于某些场合而已。举个例子，我现在想设计一个长度是24个字符的注册码，但如果你用比较安全的RSA算法来做的话，可能你要用到1024个字节，转成Base64也有170个字符。又比如，认证码的用户都是体力劳动者，但你非要做得顶级黑客都无法攻破，感觉就没有意义了。以下所说的几种认证...

设备动态密码设计我们再把需求列出来：（1）密码只能是阿拉伯数字，而且不能太长，一般要求10位以下，否则记不住，或让人感觉厌烦。（2）密码包含用户信息，系统能知道是谁对设备进行了操作。（3）密码是动态的，每次都不一样。（4）密码能够防止恶意篡改。说白了，就是密码里包含用户信息、时间信息，校验信息，但只能有8个阿拉伯数字。这是可以做到的，为什么？因为我最后做出来了。好，我们...

机器码生成如果我们希望注册码只能在一台电脑上使用，那就需要生成一个机器码。把机器码交给开发者，开发者经过一系列的运算之后，返回一个注册码。这个注册码已经包含了机器信息，只能用在一台电脑上。机器码可以从很多硬件信息上得到，例如是MAC地址、磁盘ID、CUP序列号等。但这些信息有几个问题：（1）不一定唯一，很多同个型号的电脑，硬件信息都是一样的。（2）不一定存在。例如没有网卡，MAC地...

生成注册码（非对称加解密）我们再列出几种生成注册码的情况：（1）软件生成一个机器码，交给开发者，开发者提供一个注册码。（2）把用户名交给开发者，开发者提供一个注册码。（3）直接向开发者索取一个注册码。在算法上，这几种情况并无太大区别。如果我们有一个原始的码（机器码或用户名），我们把它设为x，那么注册码就是x的一个函数y=f(x)。如果是第三种情况，那么x可能是一个随机数（也可能...

生成注册码（对称加密）非对称加密自然是要更安全的，因为软件里没有私钥。但该方法最大的缺点就是密钥太长，注册码太长，无法手抄。鉴于我们假设破解者是无法对软件反编译的，使用对称加密也未尝不可。流程跟上一节提到的基本一致。加密方法可以使用DES，密钥最短是64位，也就是16个字符。明文信息最长是7个字节，我们用4个字节存放机器码（相当于一个int），然后剩下的三个字节存放过期信息。下面是实现...

我们在用代码绘制图表的时候，需要绘制坐标轴，而坐标轴上是有刻度的。假如数据最小值是0.32，最大值是0.65，我们想坐标轴上有11个刻度左右，那是不是每个刻度的间隔就是(0.65-0.32)/10=0.033呢？这样做出来的刻度是这样的：0.32 0.353 0.386 0.419 0.452 0.485 0.518 0.551 0.584 0.617 0.65Oh my god! 这样的...

假设我们在一个矩形范围内，有一些离散的高度数据，形如(x,y,height)这样的数据集，然后我们要得到一张这样的等高线图：我们描述一下生成等高线图的算法。一、图形概述实际地图上实用的单位是米，但我们显示时使用的单位是像素，这里面有一个转换的关系。而且，显示的图形有可能需要缩放。所以我们收集的数据，x和y统一使用相对值。我们把总长和总宽都定为1，实际的坐标相对于单位1来定。例如地图...

在讲述算法之前，我们需要先学习几个概念。中缀表示法中缀表示法就是我们人书写表达式的方法，如8/4+3*(6-2)。后缀表示法后缀表示法是从中缀表示法转化过来的，它满足以下条件：（1）操作数的顺序与中缀表达式一致。（2）没有括号。（3）操作符没有优先级之分。例如上面的表达式，其后缀形式是：84/362-*+后缀表达式的特点对计算机计算非常有利。二元运算符需...

我们要做什么呢？就是输入一个二维数组，TestData = new double[9, 6] { { 26,28,29,32,28,27}, { 27,30,32,35,30,28}, { 24,27,30,27,25,24}, { 22,20,25,28,26,23}, { 19,15,20,26,25,24}, { 17,18,23,27,...