2021-08-07

机器学习中的数学公式第二次上课

第一次作业

习题1 定义无向网络.

Definition: A undirected net is a tuple $G=(\mathbf{V},w)$, where

• $\mathbf{V}$ is the set of nodes;
• $w$ : $\mathbf{V}\times \mathbf{V}\to \mathbb{R}$ is the weight function where
  • $w(⟨v_i,v_j⟩)$ is the weight of the arc $⟨v_i,v_j⟩$
  • $w(⟨v_i,v_j⟩)=w(⟨v_j,v_i⟩)$.

习题2. 自己画一棵树, 将其元组各部分写出来 (特别是函数 $p$).

$T=(\mathbf{V},r,p)$
V = { v 0 , v 1 , … , v 4 } V=\{v_0,v_1,\dots,v_4\} V={v0​,v1​,…,v4​}
$r=v_0$
$p(v_0)=\varphi$
$p_{(}{v}_1)=v_0$
$p_{(}{v}_2)=v_0$
$p_{(}{v}_3)=v_1$
$p_{(}{v}_4)=v_2$

2. 针对该树, 将代码中的变量值写出来 (特别是 parent 数组).

原文章中的代码：

public class Tree {
	/**
	 * 节点数. 表示节点 v_0 至 v_{n-1}.
	 */
	int n;
	
	/**
	 * 根节点. 0 至 n-1.
	 */
	int root;
	
	/**
	 * 父节点.
	 */
	int[] parent;

	/**
	 * 构造一棵树, 第一个节点为根节点, 其余节点均为其直接子节点, 也均为叶节点.
	 */
	public Tree(int paraN) {
		n = paraN;
		parent = new int[n];
		parent[0] = -1; // -1 即 \phi
	}// Of the constructor
}//Of class Tree

变量值如下：

n = 5;
root = 0;
parent = {-1, 0, 0, 1, 2}

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习题3 画一棵三叉树, 并写出它的 child 数组.

child数组：
{ { 1 , 2 , − 1 } , { 3 , 4 , 5 } , { − 1 , − 1 , − 1 } , { − 1 , − 1 , − 1 } , { − 1 , − 1 , − 1 } , { − 1 , − 1 , − 1 } } \{\{1,2,-1\}, \{3,4,5\},\{-1,-1,-1\},\{-1,-1,-1\},\{-1,-1,-1\},\{-1,-1,-1\}\} {{1,2,−1},{3,4,5},{−1,−1,−1},{−1,−1,−1},{−1,−1,−1},{−1,−1,−1}}

2. 按照本贴风格, 重新定义树. 提示: 还是应该定义 parent 函数, 字母表里面只有一个元素.

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Let $\varphi$ be the empty node, a tree is a quadruple $T=(\mathbf{V},r,\Sigma ,p)$ where

• $\mathbf{V}\ne \varnothing$ is the set of nodes;
• $r\in \mathbf{V}$ is the root node;
• Σ = { t o p } \Sigma=\{\mathrm{top}\} Σ={top};
• p : V → V ∪ { ϕ } p:\mathbf{V}\to\mathbf{V}\cup\{\phi\} p:V→V∪{ϕ} is the parent mapping satisfying
  • when $v=r$, $\exists !s\in \Sigma$ , st. $p(r,s)=\varphi$;
  • $\forall v\in \mathbf{V}，\exists !n\ge 0$ and $!s\in \Sigma$, st. $p^{(n)}(v,s)=r$.

说明：

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3. 根据图、树、$m$-叉树的学习, 谈谈你对元组的理解.

我认为元组实际上就是数据与数据关系的一个组合体。

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第二次作业

习题1 定义一个标签分布系统, 即各标签的值不是 0/1, 而是 $[0,1]$ 区间的实数, 且同一对象的标签和为 1.

Definition. A label distribution system is a tuple $S=(\mathbf{X},\mathbf{Y})$ where

• $\mathbf{X}=[x_{ij}{]}_{n\times m}\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$ is the data matrix;
• $\mathbf{Y}=[y_{ik}{]}_{n\times l}\in [0,1{]}^{n\times l}$ is the label matrix, satisfying
  • $\forall y_i\in \mathbf{Y}$, st. ${\sum }_{k=1}^l{y}_{ik}=1$
• $n$ is the number of instances;
• $m$ is the number of features;
• $l$ is the number of labels,