GuGuFishtion（hdu 6390 欧拉函数+莫比乌斯函数）

题目：

GuGuFishtion

 

题意：

设 ，已知m，n，p，求   。

 

思路：

欧拉函数性质： （p为质数）。

一个数肯定能表示成若干个质数的乘积，因此，设。

  (其余的项上下展开后都可以约掉，因为它们互质)

设 。

设

设

 

为莫比乌斯函数，有如下性质：

（当n=1时）

（当n>1时）

当gcd(a,b)==1时，，当gcd(a,b)!=1时，，等价于 。

 

最后一步的转化中，表示在中能被d整除的数的个数，表示在中能被d整除的数的个数，因此，两者的乘积就表示为在累加的过程中满足 的情况的个数，因此，最后两个式子等价。

 

 

时间复杂度计算：

a[i]数组，欧拉函数，莫比乌斯函数均能线性预处理。

计算的时间复杂度为O(n)；

计算的总时间为：

(C为欧拉常数)

因为有n项，所以每项的平均时间为 。

因此，总时间复杂度为 。

 

代码：

因为的值总是小于 i ，所以预处理 max(m,n) 个逆元已经足够了。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <set>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAX = 1e6+10;

ll m,n,mod;
ll prime[MAX],phi[MAX];
int cnt=0;
bool flag[MAX];
int mu[MAX];
ll a[MAX];
ll inv[MAX];
int len;

//预处理欧拉函数phi[ ]和莫比乌斯函数mu[ ]
void init()
{
    memset(flag,false,sizeof(flag));
    phi[1]=1;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<MAX;i++){
        if(!flag[i]){
            prime[cnt++]=i;
            phi[i]=i-1;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<MAX;j++){
            flag[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}

void gao()
{
    //预处理逆元
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=len;i++)
        inv[i] = 1LL * inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod;
    //预处理a[ ]数组 ( a[i]=i/phi[i] )
    for(int i=1;i<=len;i++){
        a[i]=1ll*i*inv[phi[i]]%mod;
    }
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    init();
    while(T--)
    {
       scanf("%lld%lld%lld",&m,&n,&mod);
       len=min(m,n);
       gao();
       ll ans=0;
       for(int i=1;i<=len;i++){
          int tmp1=m/i,tmp2=n/i;
          int v=min(tmp1,tmp2);
          //计算g(m/d,n/d)
          ll g=0;
          for(int j=1;j<=v;j++)
            g=(g+1ll*mu[j]*(tmp1/j)*(tmp2/j)+mod)%mod;
          ans=(ans+a[i]*g)%mod;
       }
       printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}