动态规划

一、动态规划（dynamic programming, dp）

常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往少于朴素解法。

若要解一个给定问题，我们需要解其不同部分（即子问题），再根据子问题的解以得出原问题的解。动态规划往往用于优化递归问题，例如斐波那契数列，如果运动递归的方式求解会重复计算很多相同的子问题，利用动态规划的思想可以减少计算量。

通常许多子问题非常相似，为动态规划试图解决每个子问题一次，具有天然剪枝的功能，从而减少计算量：一旦某个给定子问题的解已经算出，则将其记忆化存储，以便下次需要同一个子问题解之时，直接查表。这种做法在重复子问题的数目关于输入的规模呈指数增长时特别有用。

1、基本思想

问题的最优解如果可以由子问题的最优解推导得到，则可以先求解子问题的最优解，再构造原问题的最优解；若子问题有较多的重复出现，则可以自底向上从最终子问题向原问题逐步求解。

2、动态规划和分治法的区别

动态规划算法与分治法类似，基本思想也是将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的。

若用分治法来解决这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，在需要时再找出以求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

注：不管子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中，这就是动态规划法的基本思路。

3、适用情况

（1） 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

（2） 五后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

（3） 有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下阶段决策中可能被多次使用到。

4、求解步骤

动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列，同时确定了完成整个过程的一条活动路线。

（1） 划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。

（2） 确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。

（3） 确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据相邻两个阶段的状态之间的关系来确定决策方法和状态转移方程。

（4） 寻找边界条件：给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终止条件或者边界条件