【NOI2007】货币兑换【任意坐标斜率优化】【CDQ分治】

题意：有 A，B 两种金券，给出 $n$ 天内分别的单位价格和可以购买的数量的比例。开始有 $S$ 元，求 $n$ 天后最多能有多少元。

提示：每次操作一定全买全卖

$n\le 10^5$

设 $f_n$ 表示第 $n$ 天结束后手上最多有多少钱，允许之前某一天卖完后不动留到第 $n$ 天。

转移时如果第 $n$ 天没卖，就留下 $f_{n-1}$；否则枚举卖出去的金券是哪天买的。

即

fi=max⁡{fi−1,max⁡1≤j<i(aixj+biyj)}f_i=\max \{f_{i-1},\max_{1\leq j<i} (a_ix_j+b_iy_j)\}fi​=max{fi−1​,1≤j<imax​(ai​xj​+bi​yj​)}

其中 $x_j,y_j$ 表示在第 $j$ 天两种金券最大能买到的数量，显然能同时取最大值。

即

$$x_i=\frac{r_i{f}_i}{r_i{a}_i+b_i},y_i=\frac{f_i}{r_i{a}_i+b_i}$$

考虑一个决策算出的值为 $t$

$$t=a_i{x}_j+b_i{y}_j$$

$$y_j=-\frac{a_i}{b_i}{x}_j+\frac{t}{b_i}$$

也就是过 $(x_j,y_j)$ 斜率为 $-\frac{a_i}{b_i}$ 的直线中截距最大的

考虑斜率优化，维护一个上凸壳即可

但 $x$ 坐标不单调，需要用平衡树/李超线段树/CDQ分治

本文采用 CDQ 分治

核心思想是按 $x$ 递增顺序维护左半边的点，用单调栈现求凸壳，右边维护单调递增的询问斜率并查询。

具体而言，因为斜率是输入时就确定的，先在外面把斜率从小到大排序，分治时当前区间是对应的真实标号的区间按斜率排序后的结果。然后

1. 用类似快排的东西分出左右部分
2. 分治左半边
3. 求左半边对右边的贡献，即左半边求凸壳，右边再在凸壳上扫一遍。
4. 分治右半边
5. 按 $x$ 坐标归并两边的点

复杂度 $O(n\log n)$

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define MAXN 100005
using namespace std;
const double eps=1e-9,inf=1e9;
double f[MAXN];
struct node{double x,y,k,a,b,r;int id;}p[MAXN],t1[MAXN],t2[MAXN];
inline bool cmp(const node& x,const node& y){return x.k<y.k;}
inline double slope(const node& a,const node& b)
{
	if (fabs(a.x-b.x)<eps) return inf;
	return (a.y-b.y)/(a.x-b.x);
}
void solve(int l,int r)
{
	if (l==r)
	{
		f[l]=max(f[l],f[l-1]);
		p[l].y=f[l]/(p[l].r*p[l].a+p[l].b);
		p[l].x=p[l].y*p[l].r;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	int cnt1=0,cnt2=0;
	for (int i=l;i<=r;i++)
		if (p[i].id<=mid) t1[++cnt1]=p[i];
		else t2[++cnt2]=p[i];
	for (int i=1;i<=cnt1;i++) p[l+i-1]=t1[i];
	for (int i=1;i<=cnt2;i++) p[mid+i]=t2[i];
	solve(l,mid);
	int tp=0;
	for (int i=l;i<=mid;i++) 
	{
		while (tp>1&&slope(t1[tp-1],t1[tp])+eps<slope(t1[tp],p[i])) --tp;
		t1[++tp]=p[i];	
	} 
	for (int i=mid+1;i<=r;i++)
	{
		while (tp>1&&slope(t1[tp-1],t1[tp])<=p[i].k+eps) --tp;
		f[p[i].id]=max(f[p[i].id],p[i].a*t1[tp].x+p[i].b*t1[tp].y);
	}
	solve(mid+1,r);
	cnt1=l,cnt2=mid+1,tp=l;
	while (cnt1<=mid||cnt2<=r)
		if (cnt1<=mid&&(cnt2>r||p[cnt1].x<p[cnt2].x+eps)) t1[tp++]=p[cnt1++];
		else t1[tp++]=p[cnt2++];
	for (int i=l;i<=r;i++) p[i]=t1[i];
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].r),p[i].k=-p[i].a/p[i].b,p[i].id=i;
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	solve(1,n);
	printf("%.3f",f[n]);
	return 0;
}