【CF1344D】Résumé Review【数学】【二分】

原创于 2020-06-04 10:32:37 发布 · 305 阅读

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本文解析了一道算法竞赛题目，该题目要求在给定条件下构造序列以最大化特定数学表达式的值。通过分析函数特性，采用二分查找和优先队列策略，实现了O(nlog²V)的时间复杂度解决方案。

题意：给定长度为 $n$ 的自然数序列 $a$ 和整数 $k$ ，要求构造长度为 $n$ 的自然数序列 $b$ ，使得 $0≤bi≤ai,∑bi=k0\leq b_i\leq a_i,\sum b_i=k$ ，且 $∑bi(ai−bi2)\sum b_i(a_i-b_i^2)$ 最大化。

$n≤105n\leq 10^5$

要求最大化的是 $b(a-b^2)$ ,记为 $f(x)=x(a-x^2)$

注意到 $x$ 每增加 $1$ ， $f (x)$ 会增加 $Δi(x)=ai−3x2−3x−1\Delta_i(x)= a_i-3x^2-3x-1$

注意到对于每个 $i$ ,当 $x≥0x\geq 0$ 时， $Δi(x)\Delta_i(x)$ 单调递减，题目所求就是所有数中的前 $k$ 大之和，而每个 $Δi\Delta_i$ 被取的一定是前面若干个，所以可以套路性地维护当前的 $x_i$ 和一个堆，每次取堆顶让对应的 $x_i+1$

这样复杂度是 $O(klog⁡n)O(k\log n)$ 无法通过

但是每次加上的 $Δi(x)\Delta_i(x)$ 是单调递减的(废话)，所以可以二分最小的 $d=Δi(x)d=\Delta_i(x)$ ，再二分出每个 $Δi\Delta_i$ 被选了多少个，判断 $∑xi<k\sum x_i<k$

最后 $∑xi\sum x_i$ 可能小于 $k$ ，但每个位置最多只能 $+ 1$ ,直接在当前基础上暴力选 $k−∑xik-\sum x_i$ 个

复杂度 $O(n\log^2V)$

#include <iostream>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MAXN 100005
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=4e18;
int a[MAXN],b[MAXN],x[MAXN],p[MAXN],n;
ll k,sum;
inline ll delta(const int& a,const int& x){return x==a? -INF:a-3ll*x*x-3ll*x-1;}
inline bool cmp(int A,int B){return delta(a[A],x[A])>delta(a[B],x[B]);}
inline bool check(ll v)
{
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (delta(a[i],0)<v) x[i]=0;
		else
		{
			int l=0,r=a[i]-1,mid;
			while (l<r)
			{
				mid=(l+r+1)>>1;
				if (delta(a[i],mid)<v) r=mid-1;
				else l=mid;
			}
			x[i]=l+1;
		}
	}
	sum=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) sum+=x[i];
	if (sum>k) return false;
	for (int i=1;i<=n;i++) b[i]=x[i];
	return true;
}
int main()
{
	cin>>n>>k;
	for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	ll l=-INF,r=INF,mid,ans;
	while (l<r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		if (check(mid)) ans=mid,r=mid-1;
		else l=mid+1;
	}
	check(ans);
	for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
	sort(p+1,p+n+1,cmp);
	for (int i=1;i<=k-sum;i++) ++b[p[i]];
	for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",b[i]);
	return 0;
}