POJ 1006 Biorhythms

POJ 1003，1004，1005 比较简单，很快就解决了。有个小插曲，刚开始做ACM不太懂，最近提交问题反馈最多的就是Runtime Error，开始我以为是超时，一方面我怀疑是不是Java跑得太慢了，然后去了解发现有些国际大赛推荐用java，那说明java本身是不慢的。另一方面我怀疑是我程序太烂，每次都很耗时，所以每次遇到Runtime Error问题就去优化代码，但有时候怎么优化都不行。在做POJ1005的时候，网上的代码贴上去AC了，但是我的不行，但两个程序已经完全一样了，这个时候才发现罪魁祸首是我提交时总是带着包名（有时候手动是去了的）。

POJ 1006这个题目我虽然能提交通过，但我的方法更多的算暴力破解。

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args){
		Scanner scanner = new Scanner(System.in);
		for(int j=1; j<Integer.MAX_VALUE; j++){
			int p = scanner.nextInt() % 23;
			int e = scanner.nextInt() % 28;
			int i = scanner.nextInt() % 33;
			int d = scanner.nextInt();
			
			if(p==-1 && e==-1 && i==-1 && d==-1) return;
			
			for(int number=0; number<=21252+d; ){
				if(p == number % 23){
					if(e == number % 28){
						if(i == number % 33) {
							if (number-d <= 0) 
								number += 21252;
							System.out.println("Case "+j+": the next triple peak occurs in "+ (number-d) +" days.");
							break;
						} else
							number += 23*28;
					} else 
						number += 23;
				} else 
					number ++;
			}
		}
	}
}

解题的关键是从复杂错乱的描述中抽象出问题的本质，也就是将现象转化为数学问题。POJ1006这个问题的难点是背后的数学问题——中国剩余定理。

一个数除3余2，除5余3，除7余2。可以用初等数论中的同余方程组来求解，利用同余的符号，可以将上述问题转化为下面的同余方程组：
x ≡ 2 (mod 3)；
x ≡ 3 (mod 5)；
x ≡ 2 (mod 7)；
不难看出上述同余方程组的解并不唯一，因为如果x是一个解，则x+3*5*7*k=x+105k也是该同余方程组的一个解。事实上，从3，5，7两两互质可知上述同余方程组的任意两个解相差105的倍数。如何求出上述同余方程组最小的那个解呢？我们的祖先聪明的把问题转化为以下三个非常特殊的同余方程组的求解
a ≡ 1 (mod 3)； b ≡ 0 (mod 3)； c ≡ 0 (mod 3)；
a ≡ 0 (mod 5)； b ≡ 1 (mod 5)； c ≡ 0 (mod 5)；
a ≡ 0 (mod 7)； b ≡ 0 (mod 7)； c ≡ 1 (mod 7)；
则2a+3b+2c就是原同余方程组的一个解（即2a+3b+2c是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数），如果这个数小于105，则即为所求的最小整数解。经过简单计算可知a可以取70，b可以取21，c可以取15。计算可得2a+3b+2c=233，除以105后的余数23就是所求的最小正整数解。

回到POJ1006这个题目，已知number % 23 = p，number % 28 = e，number % 33 = i
使33*28*a被23除余1，可得5544  ＝ 33*28*6
使23*33*b被23除余1，可得14421 ＝ 23*33*19
使23*28*c被33除余1，可得1288  ＝ 23*28*2
因此有（5544*p ＋ 14421*e ＋ 1288*i） % lcm(23, 28, 33) = number
又由于23，28，33互质，所以lcm(23, 28, 33) ＝ 21252。所以number ＝ (5544*p + 14421*e + 1288*i) % 21252，所求的是number-d，本题求的是最小整数解，避免n为负数需要在number-d<=0的时候加21252。