图 --->图

图（graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V,E），其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合,E是图G中边的集合。

线性表中我们把数据元素叫做元素，树中叫结点，在图中数据元素我们称之为顶点（Vertex）。

线性表可以没有数据元素，称为空表，树中可以没有结点，叫做空树，而图结构在咱国内大部分的教材中强调顶点集合V要有穷非空。

线性表中相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图结构中，任意两个顶点之间都有可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

无向边：若顶点Vi到Vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶（Vi，Vj）来表示。

上图G1是一个无向图，G1={V1，E1}，其中

-V1={A,B,C,D}，

-E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

有向边：若从顶点Vi到Vj的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc），用有序偶<Vi，Vj>来表示，Vi称为弧尾，Vj称为弧头。

上图G2是一个无向图，G2={V2，E2}，其中

-V2={A,B,C,D}，

-E2={<B,A>,<B,C>,<C,A>,<A,D>}

简单图：在图结构中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。

无向完全图，在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有N个顶点的无向完全图有n*（n-1）/2条边。

有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向护卫相反的两条弧，则称该图为有向完全图，含有n个顶点的有向完全图有n*（n-1）条边。

稀疏图和稠密图：相对而言，通常认为边或弧数小于n*logn（n是顶点个数）的图称为稀疏图，反之为稠密图。

有些图的边或弧带有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（weight），带权的图通常称为网。

子图的概念：

图的顶点与边之间的关系

对于无向图G=（V,G），如果边（V1,V2）属于E，则称顶点V1和V2互为邻接点，即V1和V2相连接。变（V1,V2）依附于顶点V1和V2,或者说边（V1,V2）

与顶点V1和V2相关联。

顶点V的度适合V相关联的边的数目，记为TD（V）如下图，顶点A和B互为邻接点，边（A,B）依附于顶点A与B上，顶点A的度为3.

对于有向图G=（V,E），如果有<V1,V2>属于E，则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2链接自顶点V1.

以顶点V为头的弧的数目称为V的入度，记为ID（V），以V为尾的数目称为V的出度。记为OD（V），因此顶点V的度为TD（V）=ID（V）+OD(V).

下图顶点A的入度为2，出度是1，所以顶点A的度是3.

无向图G=（V,E）中从顶点V1到顶点V2的路径。

下图用红线列举了从顶点B到顶点D的四种不同路径：

如果G是有向图，则路径也是有向的。

修用红线列举顶点B到顶点D的两种路径，而顶点A到顶点B就不存在路径啦：

路径的长度是路径上的边或弧的数目，

第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环。

序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径，除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简答环。下图左侧是简单环，右侧不是简单环。

连通图

在无向图G中，如果从顶点V1到顶点V2有路径，则称V1和V2是连通的，如果对于途中任意两个顶点Vi和Vj都是连通的，则称G是连通图。下图左侧不是连通图，右侧是连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

注意以下概念：

-首先要是子图，并且子图是要连通的。

-连通子图含有极大顶点数。

-具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

在有向图G中，如果对于每一对Vi到Vj都存在路径，则称G是强连通图。

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

下图左侧并不是强连通图，右侧是。并且右侧是左侧的极大强连通子图，也是左侧的强连通分量。

最后我们再来看连通图的生成树定义：

所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。

如果一个有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度为1，则是一棵有向树。

图的存储结构

图的存储结构相比较线性表与树来说就复杂很多。我们回顾与Ixia，对于线性表来说，是一对一的关系， 所以用数组或者链表均可简单存放。树结构是一对多的关系，所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放，。

那么我们的图，是多对多的情况，另外图上的任何一个顶点都可以被看做是第一个顶点，任一顶点的邻接点之间也不存在次序关系。

因为任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系（内存物理位置是线性的，图的元素关系是平面的）。

如果用多重链表来描述是可以做到，但在几节课前的树章节我们已经讨论过，纯粹用多重链表导致的浪费是无法想象的（如果各个顶点的度数相差太大，就会造成巨大的浪费）。

所幸，前辈们已经帮我们想好了出路，我们接下来会谈吐的五种不同的存储结构：

邻接矩阵（无向图）

考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成，合在一起比较困难，那就是很自然地考虑到分为两个结构来分别存储。

顶点因为不区分大小，主次，所以用一个一维数组来存储是很不错的选择。而边或弧由于是顶点和顶点之间的关系，一维数组就肯定搞不定了，那我们不妨考虑用一个二维数组来存储。

图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

我们可以设置两个数组，顶点数组为verTex[4] = {V0，V1，V2，V3};边数组arc[4][4]为对称矩阵（0表示不存在顶点间的边，1表示顶点间存在边）

对称矩阵：所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足a[i][j] =a[j][i]（0<=I,j<=n）。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元都是相等的。

有了这个二维数组组成的对称矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息：

-要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了；

-要知道某个顶点度，其实就是这个顶点Vi在邻接矩阵中第i行（或第i列）的元素之和。

-求顶点Vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点喽。

邻接矩阵（有向图）

无向图的边构成了一个对称矩阵，貌似浪费了一半的空间，那如果是有向图来存放，会不会把资源都利用得很好呢？

可见顶点数组vertex[4]={V0，V1,V2，V3}，弧数组arc[4][4]也是一个矩阵，但以为是有向图，所以这个矩阵并不对称，例如由V1到V0有弧，得到arc[1][0]=1，而V0到V1没有弧，因此arc[0][1]=0；

另外有向图是有讲究的，要考虑入度和出度，顶点V1的入度为1，正好是滴V1列的各数之和，顶点V1的出度为2，正好是第V2行的各数之和。

邻接矩阵（网）

在图的术语中，我们提到了网这个概念，事实上也就是每条边上带有权的图就叫网。

这里∞表示一个计算机允许的，大于所有边上权值的值。

邻接表（无向图）

邻接矩阵看上去是个不错的选择，首先是容易理解，第二是索引和编排都很舒服，但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构无疑是存在对存储空间的极大浪费。

因此我们可以考虑另外一种存储结构方式，例如把数组和链表结合一起来存储，这种方式在图结构也适用，我们称为邻接表。

邻接表的处理方法是：

-图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。

-图中每个 顶点Vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不确定，所以我们选择用单链表来存储。

若是有向图，邻接表结构也是类似的，我们先来看下把顶点当弧尾简历的邻接表，这样很容易就可以得到每个顶点的出度：

邻接表有个缺陷就是要么表示出度要么表示入度，只能一种，上图是以出度为例，正向邻接表，入度是逆邻接表。

单有事为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表。

此时我们很容易就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。

邻接表（网）

对于带权值的网图，可以再边表结点定义中再增加一个数据域来存储权值即可：

十字链表

邻接表固然优秀，但也有不足，例如对有向图的处理上，有时候需要再建立一个逆邻接表~那我们思考：有没有可能把邻接表和逆邻接表结合起来呢？

答案是肯定的，这就是我们现在要谈的十字链表，为此我们重新定义顶点表结点结构：

data代表顶点数据，firstIn代表入边表的指针，firstOut代表出边表的指针。

j接着重新定义边表结点结构：

tailVex表示的是弧起点的顶点下标，headVex代表的是弧的终点的顶点下标，上图表示的是一条边，而不是一个点。

边有向的话称为弧。

图中表示的是十字链表的结构，蓝色的表示是左边顶点的出度（邻接表表示出度），那么红色呢代表的是入度（逆邻接表）。十字链表就是扩充了边表的结构，使得逆邻接表有位置填充进去。

十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在了一起，这样即容易找到以Vi为尾的弧，也容易找到一Vi为偷的弧，因而容易求得顶点的出度和入度。

十字链表除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图的应用中，十字链表也是非常好的数据结构模型。

如果程序只关心出度那建立 一个邻接表就行了，如果只考虑入度建立一个逆邻接表就行了。

链接多重表

如果我们在无向图的应用中， 关注的终点是顶点的话，那么邻接表是不错的选择， 但如果我们更关注的是边的操作，比如对已经访问过的边做标记，或者删除某一条边等操作邻接表就显得不那么方便了。

例如下图，若要删除（V0，V2）这条边，就需要对邻接表结构中边表的两个结点进行删除操作。

 

因此，我们也仿照十字链表的方式，对边表结构进行改装，重新定义的边表结构如下：

其中iVex和jVex是与某条边依附的两个顶点在顶点表中的下标。iLink指向依附一丁点iVex的下一条边，jLink指向依附顶点jVex的下一条边。

也就是说在邻接多重表里边，边表存放的是一条边，而不是一个顶点。

边集数组

边集数组是由两个一维数组构成，一个是存储顶点的信息，；另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素是由一条边的七起点下标（begin），终点下标（end），和权（weight）组成。

图的遍历

树的遍历我们谈了四种方式，大家回忆一下，树因为根节点只有一个吗，并且所有的结点都只有一个双亲，所以不是很难理解。但是谈到图的遍历，那么，饿复杂多了，因为它的任一顶点都可以和其他的所有顶点相连接，因此极有可能存在重复走过某个顶点或漏了某个顶点的遍历过程。

对于图的遍历，如果要避免以上情况，那就需要科学地设计遍历方案，通常有两种遍历次序方案，我们是深度优先遍历和广度右边遍历。

深度优先遍历（DepthFirstSearch），也称为深度优化搜索，简称为DFS。

我们可以约定y右手原则，在没有碰到重复顶点的情况下，分叉路口始终是向右手边走，每路过一个顶点就做一个记号。如果发现右边边已经走过，就走其他方向，如果全部走过，就退回上一步，再次判断有没有路口可以走，有就继续按照刚才的四路走下去，如果没有再退回去。最终再次回到起点，全部遍历完毕。这其实就是一个递归。

广度优先遍历（BreadthFirstSearch），又称为深度优先搜索，简称为BFS。

深度优先遍历类似于树的遍历前序遍历，例如上图的左侧，广度优先遍历类似于树的层序遍历，一层一层的逐步往下，我们可以用队列和右手原则来实现广度优先遍历。。