ACM之博弈论

1.巴什博弈

所谓巴什博弈，是ACM题中最简单的组合游戏，大致上是这样的：
只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取1个，最多取m个，最后取光者得胜。

显然，如果n = m + 1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：

如果 n = (m + 1) * r + s ，(r为任意自然数，s≤m)，即n%(m+1) != 0，则先手必胜。

巴什博弈还是很好理解的，以你是先手的角度考虑。你想把对手给弄垮，那么每一局，你都必须构建一个局势，这个局势就是每次都留给对手m+1的倍数个物品。因为，如果n=(m+1)r + s，(r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k(≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下(m+1)的倍数，就能最后获胜。

变形：条件不变，改为最后取光的人输。

结论：当（n-1）%（m+1）==0时后手必胜。

2.威佐夫博奕

问题模型：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

解决思路：A：设（ai,bi）（ai ≤bi ,i=0，1，2，…,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。任给一个局势（a，b），如下公式判断它是不是奇异局势： ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，…,n 方括号表示取整函数）。

设a