证明一下单位根

有些东西不记下来就忘了……

单位根是啥

$x^n-1=0$

事实上就是$x=\sqrt[n]{1}$

其实它有$n$个解（代数基本定理），我们管这$n$个解叫$n$次单位根

推导一下吧

很显然，在实数上我们只知道$\pm 1$这两个解，找那$n$个解要去复数域上去找。

设$z^n=1$

用辐角表示法，设$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

由棣莫弗公式，有$r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )=1$

显然$|z^n|=|z{|}^n$，所以$r^n=1$

所以可以表示为$z^n=\cos n\theta +i\sin n\theta =1$

虚部与虚部对应，实部与实部对于，得到

$$\{\begin{array}{c}\cos n\theta =1\\ i\sin n\theta =0\end{array}$$

所以$n\theta =0,2\pi ,4\pi ,6\pi \cdots$

观察发现$n\theta =2k\pi$

$\theta =\frac{2k\pi }{n}$

所以这个复数可以表示为$z=\cos \frac{2k\pi }{n}+i\sin \frac{2k\pi }{n}$

用欧拉公式描述，就变成了
$$\omega =e^{\frac{2k\pi }{n}i}$$

这也就是最常见的单位根表示的方法。

用啥用

在MO里，单位根可以来算一些关于圆的几何问题。

在抽象代数里，单位根可以表示一个循环群，比如12元的单位根的生成元有$\phi (12)=4$个

在FFT里，用到了单位根和原根的一些特性