算法——回溯法

回溯法总结

0.0 回溯法核心代码

Go(depth){                                                                                                                                        
    if (depth达到底部)
        return;
    do 更新;
    if (满足给定条件)
        Go(depth+1);
    do 还原;
}
//begin from Go(0)

1.0 八皇后问题

问题描述：将八位皇后放在一张8x8的棋盘上，使得即任意两个皇后都不在同一条横线，竖线和斜线上，问一共有多少种摆法？

暴力穷举：
Step 1: 先不考虑对称性和可行性，一共是$C\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{64}\right)$种可能，约40亿次搜索；
Step 2: 换种思路，由于不能在一个横线上，因此每行一个皇后；又不能在一个竖线上，因此每一行避开上面已覆盖的列；一共是8!种可能，约4万次搜索；

#include <iostream>                                                                                                                               
using namespace std;

int x[8][8]; //0:空  1:有皇后
int check(int i, int j); //检查在(i,j)处放上一个新皇后，是否满足条件
int putQueen(int i); //表示放置第i行的皇后
int ans = 0; //最后答案

int check(int i, int j){
    /* 放上该皇后之前一定是满足条件的
     * return 1: 局面满足条件
     * return 0: else */
    for (int m = 0; m<8; m++) {//检查(i,j)所在行列
        if (m!= j && x[i][m] ==1) return 0;
        if (m!= i && x[m][j] ==1) return 0;
    }
    for (int m = i-1,n = j-1; m>=0 && n>=0; m--,n--) { //检查到左上角方向
        if (x[m][n]==1)
            return 0;
    }
    for (int m = i-1,n = j+1; m>=0 && n<=7; m--,n++) { //检查到右上角方向
        if (x[m][n]==1)
            return 0;
    }
    return 1;
}

 int putQueen(int i) {
    if (i==8) {
        ans ++;
        return 1; //第8行放完，游戏结束
    }
    for (int j=0; j<8; j++){
        x[i][j] = 1; //(i,j)处放皇后
        if ( check(i,j) ){ //若符合条件，继续搜索
            putQueen(i+1);
        }
        //不符合条件，回退一步，重新搜索
        x[i][j] = 0;
    }
}

int main()
{
    putQueen(0);
    cout << "8皇后问题的解个数为:" << ans << endl;
    return 1;
}      

2.0 01背包问题

问题描述：有n件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的价值是v[i]，重量是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。所谓01背包，表示每一个物品只有一个，要么装入，要么不装入。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;

int n; //物品数量
int c; //背包容量
int w[100]; //每个物品的重量
int v[100]; //每个物品的价值
int sum_w=0;  //已选总质量
int sum_v=0;  //已选总价值
int max_v=0;  //累计最大总价值
int search(int );

int search(int num){
    /* 搜索到第num个物品 */
    if (num==n){
        return 0;
    }   
    if (sum_w + w[num] <= c){ //不超过容量，则装入
        sum_v += v[num];
        sum_w += w[num];
        if (sum_v>max_v)   //如果发现更大的价值，更新max_v
            max_v = sum_v;
        search(num+1);  
        sum_v -= v[num];   //回溯，将当前装入的扔掉
        sum_w -= w[num];
    }   
    search(num+1); //不装当前物品，继续搜索
}

int main(){
    cout << "输入物品数量n:";
    cin >> n;
    cout << "输入背包容量c:";
    cin >> c;
    cout << "输入n个物品的重量:";
    for (int i=0; i<n; i++)
        cin >> w[i];
    cout << "输入n个物品的价值:";
    for (int i=0; i<n; i++)
        cin >> v[i];
    search(0);
    cout << "最大价值是: "<< max_v << endl;
    return 1;
}