特征值与奇异值

一、特征值

定义：设A 是n阶方阵，如果存在λ和n维非零向量V ，使得AV=λV，则称λ为方阵A的一个特征，V为特征向量。

含义：对A进行伸缩变换，并且保持方向不变。其中λ相当于缩放因子或者说是权重，表示特征向量的重要程度。特征向量V表示特征具体是什么，V是一组正交向量。特征向量为一个线性子空间。

二、特征值分解

对于实对称矩阵，特征向量正交，可以将特征向量如下表示，其中Σ是一个对角阵。

含义是：将A矩阵旋转到Q这组基的空间，之后进行缩放，之后在旋转到A。所以没有旋转，或者旋0度。

 

三、奇异值

特征值分解仅仅适用于方阵，奇异值分解适用于任意矩阵；

含义：

A是一个N*M的矩阵；

U是N*N的方阵，成为左奇异向量；

Σ是N*M的对角线矩阵，对角线上矩阵成为奇异值；

VT（V的转置)是N*N的方阵，称为右奇异向量；

四、奇异值与特征值

参考：https://blog.youkuaiyun.com/u012380663/article/details/36629951?utm_source=blogxgwz1

目前不太懂！！！

第一步：求A*AT的特征值，因为A*AT为方阵

（A*AT）V=λV

第二步：V为右奇异向量；

第三步：σ就是上面说的奇异值，u就是上面说的左奇异向量