平衡二叉树(AVL)

上一篇我们聊过，二叉查找树不是严格的O(logN)，如果找到一种方法，使得二叉查找树不受输入序列和插入结点等的影响，始终保持平衡状态，从而达到很好的检索效率．平衡二叉树就是基于此目的而产生的．

定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树(平衡二叉树是一种特殊的二叉排序树):
（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;
（2）左右子树仍然为平衡二叉树.
平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.
平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图：

显然，如果有ｎ个结点，则他的高度为O(logN)，因而在其上进行的各种操作，都只需要O(logN)的时间代价．但问题在于如何保持一颗avl树的结构，使得对他的任何操作，都不改变他的平衡特性．实际上，主要是通过旋转的局部操作来调整使其保持平衡特性．

旋转
左旋：

对x进行左旋，意味着”将x变成一个左节点”。

右旋：

对y进行右旋，意味着”将y变成一个右节点”。

结点再怎么失衡都逃不过4种情况，下面我们来看一下怎么对这４中情况进行对应的旋转。
＜１＞．LL型平衡旋转法 —- 右旋

我们看到，在向树中追加“节点1”的时候，根据定义我们知道这样会导致了“节点3”失衡，可以这样想，把这棵树比作齿轮，我们在“节点5”处把齿轮往下拉一个位置，也就变成了后面这样“平衡”的形式.

＜2＞．RR型平衡旋转法 —- 左旋

同样，”节点5“满足”RR型“，其实我们也看到，这两种情况是一种镜像，当然操作方式也大同小异，我们在”节点1“的地方将树往下拉一位，最后也就形成了我们希望的平衡效果。

＜３＞．LR型平衡旋转法 —- 左右旋

从图中我们可以看到，当我们插入”节点3“时，“节点5”处失衡，注意，找到”失衡点“是非常重要的，当面对”LR型“时，我们将失衡点的左子树进行”RR型左旋转”，然后进行”LL型右旋转“，经过这样两次的旋转就OK了，很有意思，对吧。

＜4＞．RL型平衡旋转法 —- 右左旋

这种情况和“情景3”也是一种镜像关系，很简单，我们找到了”节点15“是失衡点，然后我们将”节点15“的右子树进行”LL型右旋转“，然后进行”RR型左旋转“，最终得到了我们满意的平衡。

插入
如果我们理解了上面的这几种旋转，那么添加方法简直是轻而易举，出现了哪一种情况调用哪一种旋转方法而已。

删除
同理，删除也是．