前缀和是指某序列的前n项和,可以把它理解为数学上的数列的前n项和,而差分可以看成前缀和的逆运算。合理的使用前缀和与差分,可以将某些复杂的问题简单化。
(1).
对于一维前缀和,可以很好的解决 ——“一个长度为n的整数序列。有m个询问,每个询问输入一对l, r。对于每个询问,输出原序列中从第l个数到第r个数的和。”这个问题,使得时间复杂度降为 O(1);
原理
sum[r] =a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]+a[l]+a[l+1]......a[r]
;sum[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+a[l-1]
;sum[r]-sum[l-1]=a[l]+a[l+1]+......+a[r]
;
图解
(2).
对于二维前缀和:可以很好的解决—— “一个n行m列的整数矩阵,有 q 个询问,每个询问包含四个整数x1, y1, x2, y2,表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。”这个问题。
同一维前缀和一样,我们先来定义一个二维数组s[][]
, s[i][j]
表示二维数组中,左上角(1,1)
到右下角( i,j )
所包围的矩阵元素的和。接下来推导二维前缀和的公式。
先看一下一张图:
紫色面积是指(1,1)
左上角到(i,j-1)
右下角的矩形面积, 绿色面积是指(1,1)
左上角到(i-1, j )
右下角的矩形面积。每一个颜色的矩形面积都代表了它所包围元素的和。
从图中我们很容易看出,整个外围蓝色矩形面积s[i][j] = 绿色面积s[i-1][j] + 紫色面积s[i][j-1] - 重复加的红色的面积s[i-1][j-1]+小方块的面积a[i][j];
因此得出二维前缀和预处理公式
s[i] [j] = s[i-1][j] + s[i][j-1 ] + a[i] [j] - s[i-1][ j-1]
接下来回归问题去求以(x1,y1)为左上角和以(x2,y2)为右下角的矩阵的元素的和。
如图:
紫色面积是指 ( 1,1 )
左上角到(x1-1,y2)
右下角的矩形面积 ,黄色面积是指(1,1)
左上角到(x2,y1-1)
右下角的矩形面积;
不难推出:
绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1]
因此二维前缀和的结论为:
以(x1, y1)为左上角,(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为:
s[x2, y2] - s[x1 - 1, y2] - s[x2, y1 - 1] + s[x1 - 1, y1 - 1]
接下来练习一道题目:
问题描述:
地图上有 N 个目标,用整数 Xi,Yi 表示目标在地图上的位置,每个目标都有一个价值 Wi。
注意:不同目标可能在同一位置。
现在有一种新型的激光炸弹,可以摧毁一个包含 R×R 个位置的正方形内的所有目标。
激光炸弹的投放是通过卫星定位的,但其有一个缺点,就是其爆炸范围,即那个正方形的边必须和 x,y 轴平行。
求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。
输入格式
第一行输入正整数 N 和 R,分别代表地图上的目标数目和正方形的边长,数据用空格隔开。
接下来 N 行,每行输入一组数据,每组数据包括三个整数 Xi,Yi,Wi,分别代表目标的 x 坐标,y 坐标和价值,数据用空格隔开。
输出格式
输出一个正整数,代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。
数据范围
0≤R≤109
0<N≤10000,
0≤Xi,Yi≤5000
0≤Wi≤1000
输入样例:
2 1
0 0 1
1 1 1
输出样例:
1
AC代码:
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 5010;
int f[N][N];
int main()
{
int N, R;
cin >> N >> R;
int n = R, m = R;
for(int i = 0, x, y, w; i < N; i ++ )
{
cin >> x >> y >> w;
x ++, y ++;
n = max(n, x), m = max(m, y);
f[x][y] += w;
}
for(int i = 1; i <= n; i ++ )
{
for(int j = 1; j <= m; j ++ )
{
f[i][j] += f[i - 1][j] + f[i][j - 1] - f[i - 1][j - 1];
}
}
int res = 0;
for(int i = R; i <= n; i ++ )
{
for(int j = R; j <= m; j ++ )
{
res = max(res, f[i][j] - f[i - R][j] - f[i][j - R] + f[i - R][j - R]);
}
}
cout << res << endl;
return 0;
}
具体请见:
https://blog.youkuaiyun.com/weixin_45629285/article/details/111146240