0x02 __ 分治算法

最新推荐文章于 2024-12-31 09:31:00 发布

原创最新推荐文章于 2024-12-31 09:31:00 发布 · 256 阅读

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#算法 #c++

一：简介：

分治法把一个问题划分为若干个规模更小的同类子问题，对于这些子问题递归求解，然后在回溯时通过它们推导出原问题的解。

即：“分而治之”

把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。

二：基本策略

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题。这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解，这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解，这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

三：适用情况
1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；

2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；

3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加。

第二特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用。

第三特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三特征，如果具备了第一和第二特征，而不具备第三特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

四：基本步骤

step1分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；

step2解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题；

step3合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

它的一般的算法设计模式如下：

Divide-and-Conquer(P)

    if |P|≤n0

     then return(ADHOC(P))

    将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk

     for i←1 to k

     do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △递归解决Pi

    T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △合并子问题

     return(T)

其中|P|表示问题P的规模，n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P，因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。

五：可使用分治法求解的一些经典问题

（1）二分搜索（利用分治思想缩小范围!）

（2）大整数乘法

（3）Strassen矩阵乘法

（4）棋盘覆盖

（5）合并排序

（6）快速排序

（7）线性时间选择

（8）最接近点对问题

（9）循环赛日程表

（10）汉诺塔

六：依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法

2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

3、找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

七：典型例子：

1.归并排序：

可以参考 http:// https://blog.youkuaiyun.com/xushiyu1996818/article/details/84762032

2.奇怪的汉诺塔（递归与分治的结合）

问题描述：

汉诺塔问题，条件如下：

1、这里有 A、B、C 和 D 四座塔。

2、这里有 n 个圆盘，n 的数量是恒定的。

3、每个圆盘的尺寸都不相同。

4、所有的圆盘在开始时都堆叠在塔 A 上，且圆盘尺寸从塔顶到塔底逐渐增大。

5、我们需要将所有的圆盘都从塔 A 转移到塔 D 上。

6、每次可以移动一个圆盘，当塔为空塔或者塔顶圆盘尺寸大于被移动圆盘时，可将圆盘移至这座塔上。

请你求出将所有圆盘从塔 A 移动到塔 D，所需的最小移动次数是多少。

汉诺塔塔参考模型

输入格式

没有输入

输出格式

对于每一个整数 n，输出一个满足条件的最小移动次数，每个结果占一行。

数据范围

1≤n≤12

输入样例：

没有输入
输出样例：

参考输出格式

思路：

递归思想：

该题可理解为在四塔模式下先把 i 个盘子移到 B 塔，然后在三塔模式下将 n - i 个盘子移到 D 塔，最后在四塔模式下将 B 塔上的 i 个盘子移到 D 塔。则：

其中 f[ ] 表示的是在四塔，模式下的最少步数；

d[ ] 表示的是在三塔模式下的最少步数。

AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 15;

int n;
int d[N], f[N];

int main()
{
	d[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= 12; i ++ )
	{
		d[i] = 2 * d[i - 1] + 1;
	}
	
	//f[n] = min(f[i], 2 * f[i] + d[n - i])
	memset(f, 0x3f, sizeof(f));
	f[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= 12; i ++ )
	{
		//一共有 i 个 
		for(int j = 1; j < i; j ++ )
		{
			f[i] = min(f[i], 2 * f[j] + d[i - j]);
		}
	}
	
	for(int i = 1; i <= 12; i ++ )
		cout << f[i] << endl;
	return 0;
}

https://blog.youkuaiyun.com/xushiyu1996818/article/details/90905256