3.2-3

阶乘增长速度分析

lslwsjly

于 2015-05-30 12:28:20 发布

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分类专栏：算法导论第二版习题

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本文通过数学分析展示了不同函数的增长速度，并得出阶乘函数n!相较于指数函数和多项式函数的增长特性。具体而言，证明了n!为o(n^n)，同时又是omega(2^n)，并进一步探讨了lg(n!)的增长阶。

不进行特别严格的数学分析

$\because\frac{3\sqrt{2\pi n}}{e^n}单调减趋近于0的$
$\therefore \forall c>0,总能找到正整数n_0使得，\frac{3\sqrt{2\pi n}}{e^n}<c$
$\therefore \forall c>0,\exists n_0,使得n!<\frac{3\sqrt{2\pi n}}{e^n}n^n<cn^n$
故 $n!=o(n^n)$

$\because \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{2e})^n在n\geq 5时，单调增趋近于正无穷$
$\therefore \forall c>0,总能找到正整数n_0使得，\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{2e})^n>c$
$\therefore \forall c>0,\exists n_0,使得n!>\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{2e})^n\cdot 2^n>c\cdot 2^n$
故 $n!=\omega(2^n)$

$lg(\sqrt{2\pi n})+nlgn-nlge\leq lg(n!)<lg(3\sqrt{2\pi n})+nlgn-nlge$
$\because nlge-lg(\sqrt{2\pi n})<\frac12nlgn，n>16即可$
$故lg(n!)\geq \frac12nlgn$
同理可得 $lg(n!)<=nlgn$
故 $lg(n!)=\Theta(nlgn)$