Quaternion kinematics for ESKF

0, 贝叶斯滤波

0）联合概率

对离散随机变量 X， Y 而言，联合分布概率密度函数如下：

，当 X和 Y 相互独立 (independent) , 有 

1）条件概率

假定已经知道 Y 的值是 y, 想知道基于以上事实条件 X 为 x 的概率表示为  称为条件概率 (conditional probability) 。如果 p(y) >0, 则条件概率定义为

如果 X 和 Y 相互独立,则有

注意多变量的情形：

P(A,B,C)=P(C,A,B)=P(C|A,B)*P(A,B)=P(C|A,B)*P(B,A)=P(C|A,B)*P(B|A)*P(A)
P(A, B, C)还能等价于P(A|B,C)*P(B,C)=P(A|B,C)*P(B|C)*P(C)等

2）全概率

先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：

每天上述三条路不拥堵的概率分别为：

假设遇到拥堵会迟到，那么小张从Home到Company不迟到的概率是多少？

其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件C为到公司不迟到，事件Li为选择第i条路，则：

  全概率就是表示达到某个目的，有多种方式（或者造成某种结果，有多种原因），问达到目的的概率是多少（造成这种结果的概率是多少）？

    设事件L1、L2 ..... 是一个完备事件组，则对于任意一个事件Ｃ，则全概率公式为：

通用形式：

3）贝叶斯概率

上面问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？可不是，因为０．５这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，

而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的

即在已知条件概率和全概率的基础上，贝叶斯公式为：

 

参考：浅谈全概率公式和贝叶斯公式

上面的贝叶斯公式简单梳理一下为通用形式：

在slam系统中 x通常为状态变量，y 通常为检测数据 (data), 也就是传感器测量值，一个应注意的重点是贝叶斯准则的分母, p(y) 不依赖 x，即随着状态x变化，检测数据的

全概率 p(y) 是不变的，因子 对任何 x 的后验概率 p(x/y) 都是相同的。由于这个原因, 经常写成贝叶斯准则中的归一化变量,通常用 n 表示,为

4）联合概率

贝叶斯公式中  ，可得=  = 

5）证明常用贝叶斯公式

当 只要 p(y | x) >0 时

注意：

1、P(x,y,z)也可以是其他形式，如 P(z|x,y) 、P(x|y,z)等

2、当 x、y是以其他变量z为条件的相互独立的随机变量时，

当 只要 p(z) >0 时