Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter论文阅读

0. 参考文献

【１】Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter

四元数基础参考之前的一片博文

1. 四元数的定义和属性

1.1 四元数的定义

1.1.1 四元数的表示方式

1.2 四元数的性质

1.2.1 加和

1.2.2 积

1.2.3 单位１

1.2.4 共轭

1.2.5 长度

1.2.6 逆

1.2.7 单位四元数

1.3 额外的性质

1.3.1 quaternion commutator

1.3.2 纯四元数的乘积

1.3.3 纯四元数的幂

1.3.4 纯四元数的指数

1.3.5 一般四元数的指数

1.3.6 单位四元数的对数

1.3.7 一般四元数的对数

1.3.8 四元数的幂的指数形式

2. 旋转和cross-relations

2.1 ３维向量的旋转

如下图的旋转：

可以将ｘ分解：

分解后各个成分的计算方法：

在旋转的过程中，和轴平行的部分不发生变化：

在垂直于旋转轴的平面上选择两个基向量：

在该平面内旋转$\varphi$角度后，有：

可以写做：

再加上平行的部分，可以得到旋转后的整体向量：

注意这里要区别上一篇博文中的一个公式：

仔细观察和计算可以发现两个式子其实是一样的，只不过表达的符号并不相同。

2.2 旋转群SO3

旋转变换会保持向量长度：

旋转变换会保持两线夹角：

旋转变换会保持向量间方向关系：

这一章就是要说明旋转群和四元数之间的关系？
首先有如下一个表：

2.3 旋转群和旋转矩阵

将旋转变换写成一个矩阵形式：

旋转矩阵不改变向量长度，说明Ｒ是正交的：

进一步将正交性质写成　：

同时说明：

由于上面说过，Ｒ有保持向量方向的特性，因此有如下的关系，这个用来排除了反射这一类特殊矩阵：

2.3.1 指数映射

这里引出了李代数

2.3.2 大写的指数映射

这里是换一种表达方式

2.3.3 旋转矩阵和旋转向量：罗德里格斯公式

2.3.4 对数映射

又映射回去

2.3.5 旋转变换

2.4 旋转群和四元数

先做一个假设（后面会证明，其实上一篇博文对应的文献也有证明）

由于旋转保持了向量v的长度，并且根据四元数的性质，有：

为了满足上式成立，需要q的模等于1：

可以看到，这个条件，和前面在描述旋转矩阵时的条件，类似，就是下面这个：

下面证明四元数旋转能保持向量x乘方向，证明过程运用了两次1.3.1里面的性质

2.4.1

2.4.2 大写的指数映射

2.4.3 四元数和旋转向量

2.4.4 对数映射

2.4.5 旋转变换

2.4.6 The double cover of the manifold of SO3

2.5 旋转矩阵和四元数

2.6 组合多个旋转

2.7 球面线性插值（ＳＬＥＲＰ）

2.8 quaternion and isoclinic rotations:explaining the magic

3. Quaternion conventions. MY choice

4. Perturbations, derivatives and integrals

4.1 在SO3上的加法减法

4.2 the four possible derivative definitions

4.2.1 从向量空间到向量空间

这个是在向量空间上的求导数定义

一阶泰勒展开（或者看成欧拉积分）：

4.2.2 从SO3到SO3

4.2.3 从向量空间到SO3

4.2.4 从SO3到向量空间

4.3 有用的旋转雅阁比

考虑要对一个向量 a \pmb{a} a