信息学奥赛一本通 1232：Crossing River | OpenJudge NOI 4.6 702:Crossing River

【题目链接】

ybt 1232：Crossing River
OpenJudge NOI 4.6 702:Crossing River
一本通里的翻译不够完整，OpenJudge中的英文原题中有对数据大小的限制：
样例组数$1\le T\le 20$，人数$n\le 1000$，每个人过河时间$s\le 100$

【题目翻译】

描述

N个人想要渡河，只有一条最多能载两人的船。因此必须安排某种运送方案，让船在两岸间划来划去以使所有的人都能渡河。每人都有一个不同的划船速度，两人一同划船的速度取决于划船更慢的那个人。你的任务是确定一种策略，可以使这些人渡河的时间最少。

输入

输入的第1行包含一个单独的整数T(1<=T<=20)，是测试数据的组数。然后是T组数据。每组数据的第一行是N，第二行包含N个整数，给出了每个人渡河的时间。总人数不多于1000人，没有人的渡河时间超过100秒。

输出

对于每组测试数据，打印一行，为N个人渡河所需的总秒数。

样例输入

1
4
1 2 5 10

样例输出

17

来源

POJ Monthly–2004.07.18

【题目考点】

1. 贪心

小船过河问题
同样问题可以参考：CSPJ2021初赛 第15题

【解题思路】

1. 思路

经典小船过河问题
考虑每次将2个人渡到对岸，有两种方案：
假设参与渡河的4人a、b、c、d的渡河时间分别为：$t_a,t_b,t_c,t_d$且有$t_a\le t_b\le t_c\le t_d$，要将c与d渡到对岸。
方案1：a作为船夫
渡河流程为：a与c到对岸，a回来，a与d到对岸，a回来。
渡河时间为渡河的二人中渡河时间较长的时间，所以该方案的渡河时间为：$2t_a+t_c+t_d$。
显然在该方案下，$t_a$越小渡河时间越短。所以a应该为渡河时间最短的人。
方案2：a与b作为船夫
渡河流程为：a与b到对岸，a回来，c与d到对岸，b回来。
该方案的渡河时间为：$2t_b+t_a+t_d$
显然在该方案下，$t_a$与$t_b$应该尽可能小，而$t_c$应该尽量接近$t_d$。

其他将两个人渡到对岸的方案，都不如上述两种方案。这里不再做详细论证。
而上述两种方案的优劣是不固定的，所以需要每次判断哪种方案的渡河时间更短。

2. 具体做法

将渡河时间升序排序，选择渡河时间最短的两个人作为船夫a与b，每次选择渡河时间最长的两个人作为c与d进行渡河。比较两种渡河方案，看哪种方案渡河时间更短，选择渡河时间更短的渡河方案。
重复上述过程，每次渡过去两个人，直到剩余人数小于4。
如果剩下3人，按渡河时间从小到大分别为a，b，c，那么最佳的渡河方案为：a与c到对岸，a回来，a与b到对岸，渡河时间为：$t_a+t_b+t_c$。
如果剩下2人，则a，b两人可以直接渡到对岸，渡河时间为$t_b$。
如果剩下1人（【注意】如果一共只有1个人，就会出现这种情况。），那么渡河时间为$t_a$。
统计渡河总时间，输出。

【题解代码】

解法1：贪心

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
int main()
{
    int n, m, t[N];
    cin >> m;
    while(m--)
    {
        int sum = 0; 
        int i;
        cin >> n;
        for(i = 1; i <= n; ++i)
            cin >> t[i];
        sort(t+1,t+1+n);
        for(i = n; i >= 4; i-=2)
            sum += min(2*t[1]+t[i]+t[i-1], t[1]+2*t[2]+t[i]);
        if(i == 3)
            sum += t[1]+t[2]+t[3];
        else if(i == 2)
            sum += t[2];
        else//i == 1 如果只有一个人，那么就会出现这种情况 
            sum += t[1];
        cout << sum << endl;
    }
    return 0;
}