算法导论--动态规划（装配线调度）

一、装配线调度问题

问题：

现有两条装配线，Sij表示第i条上完成第j道工序的装配站。汽车完成组装需要依次完成1~n工序。请找出完成装配并离开装配线的最快路线。

符号说明：

e_i：汽车进入装配线i的时间，i=1,2

x_i：汽车离开装配线i的时间

a_ij：在装配站Sij完成装配需要的时间

t_ij：在装配站Sij完成后离开第i条装配线，进入另一条装配线需要的转移时间

注意，如果完成工序后，下一个工序还在同一条装配线上，则不需要转移时间。

问题求解

我们用Fij表示在第i条装配线上完成第j道工序的最快时间，用F表示完成汽车装配并离开装配线的时间。如果知道F1n和F2n，则有

而要求出F1n和F2n，又需要知道F1n-1和F2n-1，从而有

依次类推，可得如下递归公式

分析

1、采用递归算法求解。

我们采用树的形式来进行说明

每个节点里的符号，表示相应的问题，其孩子节点表示在求解该问题时需要求解的子问题。由此我们很容易得出，对于问题Fij，采用递归算法计算时，需要求解的次数为.

 

2、动态规划

如果我们不是从上到下求解，而是从下到上求解，求解结果在某个地方保存起来，则可以大大改善求解速度。

例子：

其动态规划解法饿C语言实现

int e0=2,e1=4; //进入第一个装配站时间 

int x0=3,x1=2; //离开装配站n（最后一个装配站）的时间 

int T[2][5]={{2,3,1,3,4},{2,1,2,2,1}}; //T[i][j]表示装配站S[i][j]完成后转移到另一条装配线的时间 

int cF[2][6]; //cF[i][j]表示配站 S[i][j]需要的时间 

int L[2][6];  //L[i][j]表示从起始点到装配站S[i][j]完成装配这条最快路线上，其上一个装配站 

int BestF;  //记录最快装配时间 

int BestL; //从初始点到整个过程结束，最快路线最后一个装配站所在的装配线 

cF[0][0]=e0+A[0][0]; //第一条线上，第一个装配站完成，需要的总时间 

cF[1][0]=e1+A[1][0]; //第二条线上，第一个装配站完成，需要的总时间 

L[0][0]=0; //第一个装配站没有其它装配站，所以直接设为0,其实也可以设其它值 

L[1][0]=0; //第一个装配站没有其它装配站，所以直接设为0,其实也可以设其它值 

//下面是求Fij的过程 

int station;

for (station=1;station<6;station++)

{

//the first line  0  找出完成第station个装配站的最快路线上的前一站 

if(cF[0][station-1]<=cF[1][station-1]+T[1][station-1])

{

cF[0][station]=cF[0][station-1]+A[0][station];

L[0][station]=0;

}

else

{

cF[0][station]=cF[1][station-1]+T[1][station-1]+A[0][station];

L[0][station]=1;

}

 

//the second line  1   找出完成第station个装配站的最快路线上的前一站 

if(cF[1][station-1]+A[1][station]<=cF[0][station-1]+T[0][station-1]+A[1][station])

{

cF[1][station]=cF[1][station-1]+A[1][station];

L[1][station]=1;

}

else

{

cF[1][station]=cF[0][station-1]+T[0][station-1]+A[1][station];

L[1][station]=0;

}

}

 

//下面是求BestF和BestL的 

if (cF[0][5]+x0<cF[1][5]+x1)

{

BestF=cF[0][5]+x0;

BestL=0;

}

else

{

BestF=cF[1][5]+x1;

BestL=1;

}

 

int i=0,j=0;

for (i=0;i<2;i++)

{

   for(j=0;j<6;j++)

   printf(" - ",cF[i][j]);

printf("\n");

}

for (i=0;i<2;i++)

{

   for(j=1;j<6;j++)

   printf("- ",L[i][j]);

printf("\n");

    }

最优路线：0-1-0-1-1-0 对应图中即：S11-S22-S13-S24-S25-S16   时间为38