ARIMA与SARIMA模型详解：原理、应用与Python实现-优快云博客

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1. 时间序列分析基础

时间序列分析是统计学中一个重要的分支，广泛应用于金融、经济、气象等领域。ARIMA（自回归积分滑动平均）模型和SARIMA（季节性ARIMA）模型是时间序列预测中最经典且实用的模型之一。

2. ARIMA模型原理

ARIMA模型由三个部分组成：

- AR(p)：自回归部分，表示当前值与过去p个值的关系

- I(d)：差分部分，使非平稳序列变得平稳

- MA(q)：移动平均部分，表示当前误差与过去q个误差的关系

ARIMA模型的一般形式为ARIMA(p,d,q)，其中：

- p：自回归项的阶数

- d：差分次数

- q：移动平均项的阶数

3. SARIMA模型原理

SARIMA（季节性ARIMA）模型在ARIMA基础上增加了季节性分量，表示为SARIMA(p,d,q)(P,D,Q,s)，其中：

- (P,D,Q)：季节性部分的参数

- s：季节性周期长度（如月度数据s=12）

4. 模型构建流程

1. 数据平稳化：通过差分消除趋势和季节性

2. 模型识别：通过ACF和PACF图确定参数

3. 参数估计：最大似然估计等方法

4. 模型诊断：检验残差是否为白噪声

5. 预测：使用拟合模型进行预测

5. Python实现

核心代码示例

import pandas as pd

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from statsmodels.tsa.statespace.sarimax import SARIMAX

from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

# 1. 数据加载与预处理

def load_data(filepath):

    data = pd.read_csv(filepath, parse_dates=['date'], index_col='date')

    return data['value']



# 2. 平稳性检验

def test_stationarity(series):

    result = adfuller(series)

    print('ADF Statistic:', result[0])

    print('p-value:', result[1])

    return result[1] > 0.05 # 返回是否非平稳



# 3. 差分处理

def make_stationary(series, d=1):

    return series.diff(d).dropna()



# 4. ARIMA模型拟合

def fit_arima(series, order=(1,1,1)):

    model = ARIMA(series, order=order)

    results = model.fit()

    return results



# 5. SARIMA模型拟合

def fit_sarima(series, order=(1,1,1), seasonal_order=(1,1,1,12)):

    model = SARIMAX(series, 

                   order=order,

                   seasonal_order=seasonal_order,

                   enforce_stationarity=False,

                   enforce_invertibility=False)

    results = model.fit()

    return results



# 6. 模型评估

def evaluate_model(results, test_data):

    pred = results.get_forecast(steps=len(test_data))

    pred_ci = pred.conf_int()

    

    # 绘制结果

    plt.figure(figsize=(12,6))

    plt.plot(test_data, label='实际值')

    plt.plot(pred.predicted_mean, label='预测值')

    plt.fill_between(pred_ci.index,

                    pred_ci.iloc[:,0],

                    pred_ci.iloc[:,1], color='k', alpha=0.1)

    plt.legend()

    plt.show()

    

    # 计算RMSE

    rmse = np.sqrt(((pred.predicted_mean - test_data) ** 2).mean())

    print(f'RMSE: {rmse:.2f}')

    return rmse



# 示例使用

if __name__ == "__main__":

    # 加载数据

    data = load_data('time_series_data.csv')

    

    # 平稳性检验与处理

    if test_stationarity(data):

        print("数据非平稳，进行差分处理")

        data = make_stationary(data)

    

    # 划分训练集和测试集

    train = data[:int(0.8*len(data))]

    test = data[int(0.8*len(data)):]

    

    # 拟合ARIMA模型

    arima_results = fit_arima(train, order=(1,1,1))

    print(arima_results.summary())

    

    # 拟合SARIMA模型（假设数据有12个月的季节性）

    sarima_results = fit_sarima(train, 

                              order=(1,1,1), 

                              seasonal_order=(1,1,1,12))

    print(sarima_results.summary())

    

    # 模型评估

    print("ARIMA模型表现：")

    arima_rmse = evaluate_model(arima_results, test)

    

    print("\nSARIMA模型表现：")

    sarima_rmse = evaluate_model(sarima_results, test)

6. 模型选择与调优

1. 自动参数选择：可以使用

"pmdarima"库的

"auto_arima"函数自动选择最佳参数

2. 网格搜索：对(p,d,q)和(P,D,Q,s)进行网格搜索寻找最优组合

3. 信息准则：AIC和BIC越小，模型越好

7. 实际应用案例

7.1 股票价格预测

ARIMA模型常用于短期股票价格预测，尽管市场具有随机性，但ARIMA能捕捉短期趋势。

7.2 销售预测

SARIMA特别适合具有明显季节性的销售数据预测，如节假日效应、季度性波动等。

7.3 气象预测