风险控制小结

首先给个例子1，并下定义
例1：假如有1000人申请贷款，平均金额1000元，贷款年化利率为20%，实际上其中400人无法还贷（按期限内还贷），600人能够还贷，而模型判断500人通过，结果400人能够还贷，100不能够还贷。

Tables	实际（正确）	实际（错误）	总计
判断（正确）	450（TP）	50（FP）	500
判断（错误）	200（FN）	300（TN）	500
总计	600	400	1000

符号说明
总申请人数量：$N$
平均金额：$p$
总申请实际能还贷：$N_g$
总申请实际不能还贷：$N_b$
判断能还贷：$N_{pass}=N_{TP}+N_{FP}$
判断能还实际能还：$N_{TP}$
判断能还实际不能还：$N_{FP}$
判断不能还实际能还：$N_{FN}$
判断不能还实际不能还：$N_{TN}$
贷款年化利率：$R$
通过率：$r_{pass}=\frac{N_{pass}}{N}$
坏账率：$r_{bad}=\frac{N_{FP}}{N_{pass}}$
盈利：$P$

问题1：若要盈利，贷款年化利率与坏账率的关系是如何？
已知$R$、$r_{bad}$、$N_{pass}$

$$\begin{align} N_{pass}*p*(1-r_{bad})*R-N_{pass}*p*r_{bad}&>0\\ r_{bad}&<\frac{R}{1+R}\tag 1\\ \end{align}$$

说明：坏账率一定比贷款年化利率小，且当贷款年化利率越小，两者越接近。

$R$	5%	10%	15%	20%	25%	30%	36%	100%
$r_{bad}$	4.76%	9.09%	13.04%	16.67%	20.00%	23.08%	26.47%	50.00%

问题2：盈利与通过率、坏账率的关系是如何？

$$\begin{align} P(r_{pass},r_{bad})&=N_{pass}*p*(1-r_{bad})*R-N_{pass}*p*r_{bad}\\ &=N*p*r_{pass}*(R-r_{bad}*R-r_{bad})\tag 2\\ \end{align}$$
$$0\leq r_{bad}\leq R, 0\leq r_{pass} \leq R$$
$$P_{max}=P(r_{pass}=\frac{N_g}{N},r_{bad}=0)=N*p*\frac{N_g}{N}*R$$

$$P_{min}=P(r_{pass}=\frac{N_b}{N},r_{bad}=1)=-N*p*\frac{N_b}{N}$$

$$\frac{dP(r_{pass},r_{bad})}{dr_{pass}}=N*p*(R-r_{bad}*R-r_{bad})$$

$$\frac{dP(r_{pass},r_{bad})}{dr_{bad}}=-N*p*r_{pass}*(1+R)$$

什么时候两导数相等？

$$\begin{align} \frac{dP(r_{pass},r_{bad})}{dr_{pass}}=\frac{dP(r_{pass},r_{bad})}{dr_{bad}}\\ (R-r_{bad}*R-r_{bad})=r_{pass}*(1+R)\\ r_{pass}=\frac{R}{1+R}-r_{bad}\\ \end{align}$$
然而这个并没有意义， $r_{pass}$一般不会比$\frac{R}{1+R}$小。

对于例1，即已知通过率为50%，坏账率为10%，
此时$\frac{dP(r_{pass},r_{bad})}{dr_{pass}}$为80000，
$\frac{dP(r_{pass},r_{bad})}{dr_{bad}}$为-600000。

$$\begin{align} P(r_{pass},r_{bad})&=N_{pass}*p*(1-r_{bad})*R-N_{pass}*p*r_{bad}\\ &=N*p*r_{pass}*(R-r_{bad}*R-r_{bad})\\ \end{align}$$

对于例1，$P_{max}$为120000，$P_{min}$为-400000
然而，实际上我们是不知道$N_g$的，所以我们是不知道实际的$P_{max}$、$P_{min}$。
为了有一个直观的理解，对于不同的通过率、坏账率，根据例1的数据给出一个盈利

$r_{pass}$ \ $r_{bad}$	5%	10%	15%
25%	35000	20000	5000
50%	70000	40000	10000
75%	105000	60000	15000