不同还款模式的计算与推导

分期产品不同还款模式的计算与推导

1、问题背景

在信用贷款中会提供两种不同的还款模式，一种是等额本息，一种是等额本金。

等额本息，将贷款的本金总额与利息总额相加，然后平均分摊到还款期限的每个月。
这里要说明利息的计算方式是按月复利，每月按剩余本息生息。

等额本金，在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息。
这里要说明利息的计算方式是按月单利，每月按剩余本金生息。

2、变量定义

变量	符号
贷款本金	P
利率IRR	R
月利率	r
期数	N

3、问题描述

已知贷款本金P，年利率R，月利率r，期数N
求两种不同还款模式的总利息，年化APR。

3.1、等额本息

由于每期还款总额固定，故设其为B，则各个月末所欠贷款为：
第一月末： $$P(1+r)-B$$
第二月末： $$[P(1+r)-B](1+r)-B=P(1+r{)}^2-B[1+(1+r)]$$
第三个月： $$[P(1+r)-B)(1+r)-B](1+r)-B=P(1+r{)}^3-B[1+(1+r)+(1+r{)}^2]$$
由此可得，第N个月末：$$P(1+r{)}^N-\frac{B([(1+r{)}^N-1]}{r}=0$$
则每期还款总额为：
$$B=\frac{Pr([(1+r{)}^N]}{(1+r{)}^N-1}$$
故总利息为：
$$\frac{PNr([(1+r{)}^N]}{(1+r{)}^N-1}-P$$
年化APR为：
$$\frac{R([(1+r{)}^N]}{(1+r{)}^N-1}-\frac{12}{N}$$

3.2、等额本金

由于每期还款本金固定，拆成每月本金的累加再结息，则总利息为：
$$\frac{P}{N}\ast \frac{(1+N)N}{2}\ast r$$
年化APR为：
$$\frac{6r(1+N)}{N}$$

4、例子&归纳

例子：已知贷款本金P=10000，年利率R=18%，月利率r=1.5%，期数N=12
则$AP{R}_{等额本息}$=10.015%，则$AP{R}_{等额本金}$=9.75%
以下是随着N的变化，两种还款方式的APR的变化。
结论
1、$AP{R}_{等额本金}$随着期数N的增加，单调下降，并无限趋近于$6r$。
2、$AP{R}_{等额本息}$随着期数N的增加，先下降，后上升，且始终大于$AP{R}_{等额本金}$，$AP{R}_{等额本息}(N)$随着R的增加，N减少。