高数 01.01 函数

本文介绍了数学分析的基础概念,包括集合的基本定义、函数的概念及其特性、初等函数的结构等内容。重点讲解了函数的定义域、对应规则、有界性、单调性、奇偶性和周期性等特性。

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⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪   

 

 

1、定义及表示法
1 .具有某种特定性质的事物的总体称为 
组成集合的事物成为元素。
集合运算符
不含任何元素的集合称为 ,记作  
元素a属于集合M,记作 aM 
元素a不属于集合M,记作 aM 

注:M为数集{M    M0;M + M0;  

 

(1)列举法:按某种方式列出集合中的全体元素。
例:
有限集合 A={a 1 ,a 2 ,,a n }={a i } n i=1  
自然数集 N={0,1,2,,n,}={n} 

(2)描述法:M={x|x} 
例:
M={x=(x 1 ,x 2 )|x 1 ,x 2 R} 
整数的集合 Z={x|xNxN + } 

有理数集 Q={pq |pZ,qN + ,pq} 

实数集合 R={x|x} 

开区间 (a,b)={x|a<x<b} 
闭区间 [a,b]={x|axb} 
半开区间 [a,b)={x|ax<b} 
半开区间 (a,b]={x|a<xb} 
无限区间 [a,+)={x|ax<+} 
无限区间 (,b]={x|<xb} 
无限区间 (,+)={x|xR} 

点的δ 邻域 (a,δ)={x|aδ<x<a+δ}={x|  |xa|<δ} 

去心δ 邻域:U ° (a,δ)={x|0<|xa|<δ} 
其中,a称为邻域中心,δ 称为邻域半径。
δ 邻域:(aδ,a) , 右δ 邻域:(a,a+δ) 

 

1.函数的概念
2 :设有两个变量x y ,如果对于x 所考虑范围内的每一个值,y 按一定的规则对应着一个确定的值,则称y是x的函数,记作y=f(x) 

3 :对于自变量x 变化范围内的每一个值x 0  ,函数y 有一个确定的值y 0  与之对应,我们称函数在x 0  处是有定义的,使函数有定义的全体的点(也就是x 的变化范围)称为函数的定义域。(xyD )。

y=f(x),xD 

xD f yf(D)={y|y=f(x),xD}    f             

定义域:使表达式及实际问题都有意义的自变量集合。
对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法
反正弦主值 y=f(x)=asin(x) 
定义域 D = [-1, 1],值域 f(D)=[π2 ,π2 ] 

又如:
绝对值函数 f(x)=|x|={  x,x0x,x<0  
定义域:D=R 
值 域:f(D)=[0,+) 

2.函数的几种特性
设函数y=f(x),xD ,且有区间ID 
(1)有界性
xD,M>0,使|f(x)|Mf(x) 
xI,M>0,使|f(x)|Mf(x)I 
说明:还可以定义有上界、有下界、无界。

若对任意正数M,均存在xD ,使|f(x)|>M ,则称f(x) 无界。
例如:函数f(x)=sin(x) (,+) 内是有界的,数1就是它的一个上界,数-1就是它的一个下界。
又如:|sin(x)|1 对于任一实数x都成立,故函数f(x)=sin(x) (,+) 内是有界的。这里的M=1(当然也可以取大于1的任意数M而使|f(x)|M 成立)。

(2)单调性
x 1 ,x 2 I ,当x 1 <x 2  时,
f(x 1 )<f(x 2 ) ,称f(x) 为I上的单调增函数。
f(x 1 )>f(x 2 ) ,称f(x) 为I上的单调减函数。
例如:f(x)=x 2  在区间[0,+) 上是单调递增的,而在区间(,0] 上是单调递减的,在区间(,|) 上不是单调的。

又如,函数f(x)=x 3  在区间(,+) 内是单调增函数。

(3)奇偶性
xD ,且有xD 
f(x)=f(x) ,则称f(x) 为偶函数;
f(x)=f(x) ,则称f(x) 为奇函数。
说明:若f(x) x=0 有定义,则当f(x) 为奇函数时,必有f(x)=0 
例如:
y=f(x)=e x +e x 2 =ch(x) 是偶函数(双曲余弦),
y=f(x)=e x e x 2 =sh(x) 是奇函数(双曲正弦),
y=f(x)=sh(x)ch(x) =e x e x e x +e x  =th(x) 是奇函数(双曲正切)。

(4)周期性
xDl>0 ,且x±lD ,若f(x±l)=f(x) ,则称f(x) l 为周期(一般指最小正周期)。
注:周期函数不一定存在最小正周期。
例如:
常量函数f(x)=C 
狄利克雷函数 f(x)={1x0x  

3.反函数与复合函数
(1)反函数的概念及性质
设函数y=f(x) ,当变量x 在一个区域D f  内变化时,变量y 在区域R f  内变化,如果对于变量y 在区域R f  内任取一个值y 0  ,变量x 在局域D f  内有x 0  ,使y 0 =f(x 0 ) ,则x 变量是y 变量的函数,用x=φ(y) 表示,函数x=φ(y) 称为y=f(x) 的反函数。
习惯上,y=f(x),xD 的反函数记成:y=f 1 (x),xf(D) 
性质:
1)y=f(x)()y=f 1 (x)() 

2)函数y=f(x) 与其反函数y=f 1 (x) 的图形关于直线y=x 对称。
例如,
y=e x ,x(,+)y=ln(x),x(0,+) }线y=x 

(2)复合函数
两个函数的所谓复合,实际上就是中间变量介入自变量到因变量的变化过程。设有如下两个函数
f:y=f(u),uD f ,     
g:u=g(x),xD g ,g(D g )D f      
    y=f[g(x)],xD g u 
g(D g )D f  
y=asin(u),u=2(1x 2 ) − − − − − − −    
y=asin(2(1x 2 ) − − − − − − −   ),xD=[1,3   2 ][3   2 ,1] 
y=asin(u),u=2+x 2  

两个以上函数也可构成复合函数。例如,
y=u   ,u>0 
u=cot(v),vkπ(k=0,±1,±2,) 
v=x2 ,x(,+) 
可定义复合函数:
y=cotx2  − − − −   ,x(2kπ,(2k+1)π]kZkπ<x2 kπ+π2 cotx2 0 

4.函数的运算:加法,乘法,商。
f(x)g(x)D 1 D 2 ,D=D 1 D 2 ()f±g(f±g)(x)=f(x)±g(x)xDfg(fg)(x)=f(x)g(x)xDfg (fg )(x)=f(x)g(x) ,xDx|g(x)=0 

f(x)(l,l)g(x)h(x)使 

f(x)=g(x)+h(x). 

g(x)=12 [f(x)+f(x)]   h(x)=12 [f(x)f(x)]  g(x)+h(x)=f(x)  g(x)=12 [f(x)+f(x)]=g(x),g(x)=g(x)     h(x)=12 [f(x)f(x)]=12 [f(x)f(x)]=h(x),h(x)=h(x) 

5.初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
(2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。否则称为非初等函数。

,y={x,x0x,x<0 y=x 2  − −    

非初等函数举例:
符号函数: y=sgn(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1  x>00  x=01x<0  

取整函数: y=[x]=n,nleqx<n+1nZ 

例5.求 y=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 2 ,1x<0lnx,0<xleq12e x1 ,1<x2  

解:1x<0y=x 2 x(0,1],        x=y   ,y(0,1]0<x1y=ln(x)(,0]        x=e y ,y(,0]1<x2y=2e x1 ,y(2,2e],        x=1+ln(y2 ),y(2,2e] 
反函数 x=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e y ,y(,0],y   ,y(0,1],1+lny2 ,y(2,2e] (,1](2,2e] 

内容小结
1.集合的概念
2.函数的定义及函数的二要素{  
3.函数的特性{  
4.初等函数的结构

一、选择题
在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求,选出符合题目要求的选项。
例1 函数f(x)=1lg|x5|  的定义域是( B )。
A.(,5)(5,+);    B.(,4)(4,5)(5,6)(6,+)C.(,6)(6,+);    D.(,4)(4,+) 
>0,|x5|>0,x5;lg|x5|0,|x5|1,x4,x6f(x)B 

例2 函数y=ln(x+1)(   x1)  的定义域是( C )。
A.(1,+);    B.[1,+);    C.(1,+);    D.[1,+) 
(x+1)>0,x1>=0,x10 
{x+1>0,x1>0, x>1C 

例3 f(x)={e x ,x<1,x 2 1,x1, f(0)(A) 
A.1;    B.0;    C.1;    D.2 
01,x1f(x)=x 2 1,f(0)=0 2 1=1,A 

例4 f(x)=sin(x 2 ),φ(x)=x 2 +1,f(φ(x))=(A) 
A.sin(x 2 +1) 2 ;    B.sin 2 (x 2 +1);    C.sin(x 2 +1);    D.sin 2 (x 2 )+1 
f(φ(x))=sin[φ(x)] 2 =sin[(x 2 +1)] 2 A 

例5 f(xa)=x(xa)(a0)f(x)=(B) 
A.x(xa0    B.x(x+a)    C.(xa)(x+a)    D.(xa) 
xa=t,x=t+af(t)=f(xa)=(t+a)t,f(x)=x(x+a),B 

例6 y=log a (1+x 2  − − − − −   +x)(a>0,a1)(B) 
A.偶函数; B.奇函数
C.非奇非偶函数; D.既是偶函数又是奇函数。
f(x)=log a (1+x 2  − − − − −   x)=log a ((1+x 2  − − − − −   x)(1+x 2  − − − − −   +x)(1+x 2  − − − − −   +x) )=log a ((1+x 2  − − − − −   x)(1+x 2  − − − − −   +x)(1+x 2  − − − − −   +x) )=log a (1(1+x 2  − − − − −   +x) )=log a (1+x 2  − − − − −   +x) 1 =log a (1+x 2  − − − − −   +x)=f(x) 

例7 y=|sin(2x)|(D) 
A.2πB.4πC.πD.π2  
f(x+π2 )=|sin2(π2 +x)|=|sin(π+2x)|=|sin(2x)|=f(x)D 

例8 f(x)=cos(1x )(C) 
A.B.C.D. 
cos(1x )1C 

例9 y=a x y=log a x(a>0,a1)(D) 
A.关于原点对称; B.关于X轴对称;
C.关于Y轴对称; D.关于直线y=x对称。
log a y=log a (a x )=x(log a a)=xy=a x y=log a x线y=xD 

填空题

例10 f(x+1)=x 2 +3x+5,f(x)=  x 2 +x+3   − − − − − − − − − −   
:u=x+1x=u1 
f(x+1)=f(u1+1)=f(u)=(u1) 2 +3(u1)+5=(u 2 2u+1)+(3u3)+5=u 2 +u+3f(u)=u 2 +u+3f(x)=x 2 +x+3 

例11 y=3 u ,u=v 2 ,v=tan(x),y=f(x)=  3 tan 2 (x)    − − − − − − −   
f(x)=3 (tan(x)) 2  =3 tan 2 (x)  

例12 f(x)=1x 1x 2  − − − − −   +cos(x)  [1,0)(0,1]   − − − − − − − − − − − − −   
x01x 2 0x01x1f(x)[1,0)(0,1] 

例13 f(x)=2 x1 1f 1 (x)=  log 2 (x+1)+1   − − − − − − − − − − − − − −   
y=2 x1 1,y+1=2 x1 ,log 2 (y+1)=log 2 (2 x1 )=(x1)log 2 (2)=x1x=log 2 (y+1)+1f 1 (x)=log 2 (x+1)+1 

练习题1.1
一、填空题
1.f(x)={1,|x|1,1,|x|>1, f(1f(x) )(  A  ) 
A.1;    B.1;    C.f(x);    D.1f(x)  
解:|f(x)|=1,∣ ∣ 1f(x) ∣ ∣ =1,1f(x) =11f(x) =1,1f(x) 1,f(1f(x) )=1A 

2.y=e x e x +1 f 1 (x)(  B  ) 
A.y=x1x ;    B.y=lnx1x ;    C.y=1xx ;    D.y=ln1xx ; 
解:y=e x e x +1 y(e x +1)=e x (y1)e x =ye x =11y ln(e x )=ln(11y )x=ln(11y )f 1 (x)=ln(x1x )y=ln(x1x ),B 

(二) 填空题
1.f(x)=log(1x)1|x| (  (,1)(1,1)  ) 
1|x|01x>0x±1x<1,f(x)(,1)(1,1) 

2.f(2 x 1)=x+1,f(x)=  log 2 (x+1)+1   − − − − − − − − − − − − − −   
解:y=2 x 1,x=log 2 (y+1)f(y)=log 2 (y+1)+1f(x)=log 2 (x+1)+1 

3.f(x)=x 2 ,φ(x)=e x ,f(φ(x))=  e 2x    − − − − −   
解:f(φ(x))=(φ(x)) 2 =(e x ) 2 =e 2x  

<think>好的,我现在遇到了一个Python的错误,提示是ValueError: invalid literal for int() with base 10: '1.01.0'。需要解决这个问题。首先,我得理解为什么会发生这个错误。 根据用户提供的引用,比如引用[1]提到这个错误通常是因为尝试将无法转换为整的字符串传给int()函数。而错误信息中的字符串是'1.01.0',看起来像是一个带有多个小点的小,或者格式有误的字符串。因为合法的浮点只能有一个小点,所以这样的字符串既不能直接转成int,也不能先用float转换后再转int吗?或者用户可能在处理据时,字符串中有意外的字符或格式错误。 首先,我应该检查这个字符串的结构。'1.01.0'中有两个小点,这显然不符合整或浮点的格式。所以当用int()直接转换时,Python无法识别这样的格式,导致错误。同样,如果尝试用float('1.01.0')也会失败,因为float也无法解析有两个小点的字符串。因此,用户可能在处理据时,这个字符串被错误地拼接或输入了。 接下来,我需要思考解决方法。根据引用[3]中的例子,当字符串中包含非字字符时,比如字母,也会导致同样的错误。这里的情况是格式错误,所以需要先处理字符串中的多余小点。可能的解决步骤包括: 1. 检查字符串是否有多个小点,并处理这种情况。比如,可以分割字符串,取其中一个部分,或者判断是否为有效的字格式。 2. 使用异常处理,在转换前验证字符串是否合法,或者在转换失败时进行处理。 3. 如果字符串原本应该是浮点,但被错误地格式化为多个小点,可能需要先清理字符串,去掉多余的小点,再转换为浮点,最后取整或处理。 比如,用户可能原本希望将'1.01.0'转换为1.01这样的浮点,但据输入错误。这时候,可能需要截断后面的部分,或者检查据来源,确保输入正确。如果是处理文件或输入据,可能需要添加据清洗的步骤,去除无效字符。 另外,引用[2]和[4]提到,处理这类错误需要仔细检查输入据的来源,并确保转换前字符串的格式正确。例如,在转换之前,可以使用正则达式来验证字符串是否符合字的格式,或者在尝试转换时使用try-except块来捕获异常,并提供错误处理。 所以,可能的解决方案包括: - 使用正则达式匹配有效字格式,过滤掉无效字符串。 - 在转换前检查字符串是否含有多个小点,并处理这种情况。 - 使用try-except块来捕获ValueError,并处理异常情况,比如记录错误或跳过无效据。 具体到用户的案例,假设字符串是'1.01.0',需要将其转换为值。可能的处理方法是先检查字符串中的小量,如果超过一个,可以选择只保留第一个小点前的部分,或者根据具体需求调整。例如,截取到第一个小点后的内容,或者报错提示据格式错误。 例如,可以编写一个函数来处理这种字符串: def convert_number(s): if s.count('.') > 1: # 处理多个小点的情况 # 例如,取第一个小部分,或者视为无效 parts = s.split('.') if len(parts) > 2: # 可能有多个小点,合并前两部分? # 或者返回错误 raise ValueError("Invalid number format") else: # 其他处理方式? else: try: return float(s) except ValueError: # 处理其他错误 pass 不过这可能比较复杂,具体处理方式取决于据的实际需求。 另一个方法是使用异常处理,在转换失败时进行处理: try: num = int(s) except ValueError: try: num = float(s) # 如果希望转为整,可以取整? num = int(num) except: # 处理无效的情况 print("无效的字符串") 但在这个例子中,'1.01.0'即使转换为浮点也会失败,所以需要先清理字符串。 或者,使用正则达式来验证字符串是否为有效的整或浮点: import re def is_valid_number(s): pattern = r'^[-+]?[0-9]*\.?[0-9]+$' return re.match(pattern, s) is not None 如果字符串符合这个正则达式,那么可以尝试转换为float,否则视为无效。对于'1.01.0',正则达式会失败,因为它有两个小点。 因此,用户需要先确保输入的字符串是正确的字格式。如果据中存在这样的错误,可能需要检查据来源,修正据输入错误,或者在代码中添加清洗步骤,例如删除多余的小点,或者分割字符串并选择正确的部分。 总结解决步骤: 1. 检查字符串格式,确保没有多个小点或其他非法字符。 2. 使用异常处理来捕获转换错误,并处理或记录无效输入。 3. 清理据,去除或修正格式错误的字符串。 例如,处理'1.01.0'的一种方式可能是找到第一个小点后的部分,然后截断后面的内容,但需要根据具体情况决定如何处理,这可能涉及业务逻辑。 另外,用户可能需要将这样的字符串转换为浮点,但由于格式错误无法直接转换。因此,需要先修复字符串的格式,比如删除多余的小点,或者将字符串分割成有效部分。例如: s = '1.01.0' if s.count('.') > 1: # 例如,取第一个小点前的部分和之后的部分合并 parts = s.split('.') corrected = '.'.join(parts[:2]) # 取前两个部分,如'1.01' try: num = float(corrected) except: # 处理错误 pass else: # 正常处理 pass 这种方法可能会将'1.01.0'转换为1.01,但需要确认是否符合用户的需求。 所以,最终的解决方案可能包括据验证、异常处理和字符串清理步骤。具体到用户的错误,正确的解决方法是确保传递给int()的字符串是有效的整格式,或者在转换为整之前先转换为浮点并取整,但必须保证字符串是有效的浮点格式。 例如,如果字符串应该是浮点,用户可能错误地使用了int(),而应该使用float(),然后根据需要转换为整: s = '1.01.0' try: num = float(s) except ValueError: # 处理错误 else: integer_num = int(num) # 或者四舍五入等 但在这个例子中,由于s是无效的,所以需要先处理字符串中的多个小点。因此,用户需要先修正字符串的格式问题。</think>要解决将字符串`'1.01.0'`转换为整时出现的`ValueError`错误,需明确该字符串包含两个小点,导致无法被直接解析为整或浮点。以下是分步解决方案: ### 错误原因分析 1. **无效的字符串格式**:`int()`函数要求输入字符串必须是有效的整格式(如`"123"`),而`'1.01.0'`包含多个小点,既不符合整格式,也不符合浮点格式[^1][^2][^3]。 2. **据来源问题**:可能因输入错误、据拼接异常或文件解析问题导致字符串格式错误。 ### 解决方案 #### 方法1:清理字符串中的多余小点 通过检查并修正字符串中的小量,确保其符合值格式: ```python def clean_invalid_decimal(s): if s.count('.') > 1: # 保留第一个小点前后的内容(例如将"1.01.0"转为"1.01") parts = s.split('.') cleaned = '.'.join(parts[:2]) # 取前两部分 return cleaned else: return s s = '1.01.0' cleaned_s = clean_invalid_decimal(s) try: num = float(cleaned_s) # 转为浮点 integer_num = int(num) # 若需整,可进一步转换 except ValueError: print(f"无法转换的字符串: {s}") ``` #### 方法2:使用正则达式验证并提取有效值 通过正则达式匹配合法字格式,过滤无效字符: ```python import re def extract_valid_number(s): # 匹配整或浮点格式(允许前导符号) match = re.search(r'^[-+]?(\d+\.?\d*|\.\d+)$', s) if match: return match.group() else: return None s = '1.01.0' valid_s = extract_valid_number(s) if valid_s: num = float(valid_s) else: print(f"无效的值格式: {s}") ``` #### 方法3:异常处理错误日志记录 在转换时捕获异常并记录错误信息,避免程序中断: ```python s = '1.01.0' try: num = int(s) except ValueError: try: num = float(s) # 尝试转为浮点 except ValueError: print(f"无效的值字符串: {s}") # 记录错误或跳过该据 ``` ### 应用场景 - **据清洗**:处理CSV、日志文件等外部据时,需提前验证值字段的格式。 - **用户输入验证**:在接收用户输入(如单、命令行)时,需检查输入合法性。 - **自动化脚本容错**:在批量处理据时,通过异常处理避免因个别错误导致整体任务失败。 ### 相关问题 1. 如何在Python中安全地将字符串转换为值类型? 2. 如何批量清洗包含格式错误值的据文件? 3. 正则达式在据验证中的常见用法有哪些? : 引用[1] [^2]: 引用[2] [^3]: 引用[3] [^4]: 引用[4]
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