第一章函数、极限、连续
分析基础⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 函数−−研究的对象极限−−研究的方法连续−−研究的桥梁
第一节函数
一、集合
1、定义及表示法
定义1 .具有某种特定性质的事物的总体称为集合 。
组成集合的事物成为元素。
集合运算符
不含任何元素的集合称为空集 ,记作 ∅
元素a属于集合M,记作 a∈M
元素a不属于集合M,记作 a∉M
注:M为数集{M ′ 表示M中排除0的集;M + 表示M中排除0与负数的集;
表示法:
(1)列举法:按某种方式列出集合中的全体元素。
例:
有限集合 A={a 1 ,a 2 ,⋯,a n }={a i } n i=1
自然数集 N={0,1,2,⋯,n,⋯}={n}
(2)描述法:M={x|x所具有的特征}
例:
M={x=(x 1 ,x 2 )|x 1 ,x 2 ∈R}
整数的集合 Z={x|x∈N和−x∈N + }
有理数集 Q={pq |p∈Z,q∈N + ,p与q互质}
实数集合 R={x|x为有理数和无理数}
开区间 (a,b)={x|a<x<b}
闭区间 [a,b]={x|a≤x≤b}
半开区间 [a,b)={x|a≤x<b}
半开区间 (a,b]={x|a<x≤b}
无限区间 [a,+∞)={x|a≤x<+∞}
无限区间 (−∞,b]={x|−∞<x≤b}
无限区间 (−∞,+∞)={x|x∈R}
点的δ 邻域 ⋃(a,δ)={x|a−δ<x<a+δ}={x| |x−a|<δ}
去心δ 邻域:U ° (a,δ)={x|0<|x−a|<δ}
其中,a称为邻域中心,δ 称为邻域半径。
左δ 邻域:(a−δ,a) , 右δ 邻域:(a,a+δ)
二、函数
1.函数的概念
定义2 :设有两个变量x 和
定义3 :对于自变量x 变化范围内的每一个值
∀x∈D⟼ f y∈f(D)={y|y=f(x),x∈D}定义域 f是对应规则 值域
定义域:使表达式及实际问题都有意义的自变量集合。
对应规律的表示方法:解析法、图像法、列表法
反正弦主值 y=f(x)=asin(x)
定义域 D = [-1, 1],值域 f(D)=[−π2 ,π2 ]
又如:
绝对值函数 f(x)=|x|={ x,x≥0−x,x<0
定义域:D=R
值 域:f(D)=[0,+∞)
2.函数的几种特性
设函数y=f(x),x∈D ,且有区间I⊂D 。
(1)有界性
∀x∈D,∃M>0,使|f(x)|≤M,称f(x)为有界函数。
∀x∈I,∃M>0,使|f(x)|≤M,称f(x)在I上有界。
说明:还可以定义有上界、有下界、无界。
若对任意正数M,均存在x∈D ,使|f(x)|>M ,则称f(x) 无界。
例如:函数f(x)=sin(x) 在(−∞,+∞) 内是有界的,数1就是它的一个上界,数-1就是它的一个下界。
又如:|sin(x)|≤1 对于任一实数x都成立,故函数f(x)=sin(x) 在(−∞,+∞) 内是有界的。这里的M=1(当然也可以取大于1的任意数M而使|f(x)|≤M 成立)。
(2)单调性
∀x 1 ,x 2 ∈I ,当x 1 <x 2 时,
若f(x 1 )<f(x 2 ) ,称f(x) 为I上的单调增函数。
若f(x 1 )>f(x 2 ) ,称f(x) 为I上的单调减函数。
例如:f(x)=x 2 在区间[0,+∞) 上是单调递增的,而在区间(−∞,0] 上是单调递减的,在区间(−∞,|∞) 上不是单调的。
又如,函数f(x)=x 3 在区间(−∞,+∞) 内是单调增函数。
(3)奇偶性
∀x∈D ,且有−x∈D ,
若f(−x)=f(x) ,则称f(x) 为偶函数;
若f(−x)=−f(x) ,则称f(x) 为奇函数。
说明:若f(x) 在x=0 有定义,则当f(x) 为奇函数时,必有f(x)=0 。
例如:
y=f(x)=e x +e −x 2 =ch(x) 是偶函数(双曲余弦),
y=f(x)=e x −e −x 2 =sh(x) 是奇函数(双曲正弦),
y=f(x)=sh(x)ch(x) =e x −e −x e x +e −x =th(x) 是奇函数(双曲正切)。
(4)周期性
∀x∈D,∃l>0 ,且x±l∈D ,若f(x±l)=f(x) ,则称f(x)为周期函数,称 l 为周期(一般指最小正周期)。
注:周期函数不一定存在最小正周期。
例如:
常量函数
狄利克雷函数 f(x)={1,x为有理数0,x为无理数
3.反函数与复合函数
(1)反函数的概念及性质
设函数y=f(x) ,当变量x 在一个区域
习惯上,y=f(x),x∈D 的反函数记成:y=f −1 (x),x∈f(D) 。
性质:
1)y=f(x)单调递增(减),其反函数y=f −1 (x)存在,且也单调递增(减)。
2)函数y=f(x) 与其反函数y=f −1 (x) 的图形关于直线y=x 对称。
例如,
指数函数y=e x ,x∈(−∞,+∞)对数函数y=ln(x),x∈(0,+∞) }互为反函数,他们都是单调递增,其图形关于直线y=x对称。
(2)复合函数
两个函数的所谓复合,实际上就是中间变量介入自变量到因变量的变化过程。设有如下两个函数
f:y=f(u),u∈D f , ①
g:u=g(x),x∈D g ,且g(D g )⊂D f ②
则 y=f[g(x)],x∈D g ,称为由①,②确定的复合函数,u称为中间变量。
注意:构成复合函数的条件g(D g )⊂D f 不可少。
例如,函数:y=asin(u),u=2(1−x 2 ) − − − − − − − √ ,可定义复合函数
y=asin(2(1−x 2 ) − − − − − − − √ ),x∈D=[−1,−3 √ 2 ]⋃[3 √ 2 ,1]
但函数y=asin(u),u=2+x 2 不能构成复合函数。
两个以上函数也可构成复合函数。例如,
y=u √ ,u>0
u=cot(v),v≠kπ(k=0,±1,±2,⋯)
v=x2 ,x∈(−∞,+∞)
可定义复合函数:
y=cotx2 − − − − √ ,x∈(2kπ,(2k+1)π],k∈Zkπ<x2 ≤kπ+π2 时,cotx2 ≥0
4.函数的运算:加法,乘法,商。
设函数f(x)g(x)的定义域一次为D 1 ,D 2 ,D=D 1 ⋂D 2 ≠∅。则我们可以定义这两个函数的下列运算:和(差)f±g:(f±g)(x)=f(x)±g(x),x∈D;积f⋅g:(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x),x∈D;商fg :(fg )(x)=f(x)g(x) ,x∈D∖x|g(x)=0
例:设函数f(x)的定义域为(−l,l),证明必存在的偶函数g(x)及其基函数h(x),使得
证明:设g(x)=12 [f(x)+f(−x)] h(x)=12 [f(x)−f(−x)]则 g(x)+h(x)=f(x)且 g(−x)=12 [f(−x)+f(x)]=g(x),即g(x)=g(−x) h(−x)=12 [f(−x)−f(x)]=−12 [f(x)−f(−x)]=−h(x),即h(−x)=−h(x)
5.初等函数
(1) 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
(2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数。否则称为非初等函数。
例如,y={x,x≥0−x,x<0 可表示为y=x 2 − − √ ,故为初等函数。又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数
非初等函数举例:
符号函数: y=sgn(x)=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1, 当x>00, x=0−1,当x<0
取整函数: y=[x]=n,当nleqx<n+1,n∈Z
例5.求 y=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x 2 ,−1≤x<0lnx,0<xleq12e x−1 ,1<x≤2 的反函数及其定义域
解:当−1≤x<0时,y=x 2 x∈(0,1], 则x=−y √ ,y∈(0,1]当0<x≤1时,y=ln(x)∈(−∞,0], 则x=e y ,y∈(−∞,0]当1<x≤2时,y=2e x−1 ,y∈(2,2e], 则x=1+ln(y2 ),y∈(2,2e]
反函数 x=⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ e y ,y∈(−∞,0],−y √ ,y∈(0,1],1+lny2 ,y∈(2,2e]。 定义域为(−∞,1]⋃(2,2e]
内容小结
1.集合的概念
2.函数的定义及函数的二要素{定义域对应规律
3.函数的特性{有界性,单调性,奇偶性,周期性
4.初等函数的结构
一、选择题
在每小题给出的4个选项中,只有一项符合题目要求,选出符合题目要求的选项。
例1 函数f(x)=1lg|x−5| 的定义域是( B )。
A.(−∞,5)⋃(5,+∞); B.(−∞,4)⋃(4,5)⋃(5,6)⋃(6,+∞)C.(−∞,6)⋃(6,+∞); D.(−∞,4)⋃(4,+∞)
∵真数>0,即|x−5|>0,∴x≠5;∵lg|x−5|≠0,即|x−5|≠1,∴x≠4,x≠6。故知f(x)的定义域是B。
例2 函数y=ln(x+1)( √ x−1) 的定义域是( C )。
A.(−1,+∞); B.[−1,+∞); C.(1,+∞); D.[1,+∞)。
∵对数的真数(x+1)>0,开平方根的x−1>=0,分母x−1≠0。
∴{x+1>0,x−1>0, 解得x>1,故选C。
例3 设函数f(x)={e x ,x<−1,x 2 −1,x≥−1, 则f(0)等于(A)。
A.−1; B.0; C.1; D.2。
∵0≥−1,当x≥−1时,f(x)=x 2 −1,∴f(0)=0 2 −1=−1,故选A。
例4 设函数f(x)=sin(x 2 ),φ(x)=x 2 +1,则f(φ(x))=(A)。
A.sin(x 2 +1) 2 ; B.sin 2 (x 2 +1); C.sin(x 2 +1); D.sin 2 (x 2 )+1。
∵f(φ(x))=sin[φ(x)] 2 =sin[(x 2 +1)] 2 。故选A
例5 设f(x−a)=x(x−a)(a为大于0的常数),则f(x)=(B)。
A.x(x−a0 B.x(x+a) C.(x−a)(x+a) D.(x−a)。
令x−a=t,则x=t+a,因此f(t)=f(x−a)=(t+a)t,故f(x)=x(x+a),选B。
例6 函数y=log a (1+x 2 − − − − − √ +x)(a>0,a≠1)是(B)。
A.偶函数; B.奇函数
C.非奇非偶函数; D.既是偶函数又是奇函数。
∵f(−x)=log a (1+x 2 − − − − − √ −x)=log a ((1+x 2 − − − − − √ −x)∗(1+x 2 − − − − − √ +x)(1+x 2 − − − − − √ +x) )=log a ((1+x 2 − − − − − √ −x)∗(1+x 2 − − − − − √ +x)(1+x 2 − − − − − √ +x) )=log a (1(1+x 2 − − − − − √ +x) )=log a (1+x 2 − − − − − √ +x) −1 =−log a (1+x 2 − − − − − √ +x)=−f(x)∴是奇函数。
例7 函数y=|sin(2x)|的周期是(D)。
A.2π;B.4π;C.π;D.π2 。
∵f(x+π2 )=|sin2(π2 +x)|=|sin(π+2x)|=|sin(2x)|=f(x)。∴故选D。
例8 函数f(x)=cos(1x )是定义域内的(C)。
A.周期函数;B.单调函数;C.有界函数;D.无界函数。
∵cos(1x )≤1,∴选C
例9 函数y=a x 与y=log a x(a>0,a≠1)的图形是(D)。
A.关于原点对称; B.关于X轴对称;
C.关于Y轴对称; D.关于直线y=x对称。
∵log a y=log a (a x )=x(log a a)=x∴y=a x 与y=log a x互为反函数,他们的图形关于直线y=x对称。故选D。
填空题
例10 设f(x+1)=x 2 +3x+5,则f(x)= x 2 +x+3 − − − − − − − − − − 。
解:令u=x+1,则x=u−1,可得
f(x+1)=f(u−1+1)=f(u)=(u−1) 2 +3(u−1)+5=(u 2 −2u+1)+(3u−3)+5=u 2 +u+3即f(u)=u 2 +u+3∴f(x)=x 2 +x+3
例11 设y=3 u ,u=v 2 ,v=tan(x),则y=f(x)= 3 tan 2 (x) − − − − − − − 。
解:f(x)=3 (tan(x)) 2 =3 tan 2 (x)
例12 函数f(x)=1x −1−x 2 − − − − − √ +cos(x)的定义域 [−1,0)⋃(0,1] − − − − − − − − − − − − − 。
解:∵x≠0且1−x 2 ≥0。即x≠0且−1≤x≤1。∴f(x)的定义域是[−1,0)⋃(0,1]。
例13 函数f(x)=2 x−1 −1的反函数f −1 (x)= log 2 (x+1)+1 − − − − − − − − − − − − − − 。
解:令y=2 x−1 −1,则y+1=2 x−1 ,log 2 (y+1)=log 2 (2 x−1 )=(x−1)log 2 (2)=x−1x=log 2 (y+1)+1∴f −1 (x)=log 2 (x+1)+1
练习题1.1
一、填空题
1.设函数f(x)={1,|x|≤1,−1,|x|>1, 则f(1f(x) )等于( A )。
A.1; B.−1; C.f(x); D.1f(x) 。
解:∵|f(x)|=1,∣ ∣ 1f(x) ∣ ∣ =1,1f(x) =−1⋃1f(x) =1,1f(x) ≤1,∴f(1f(x) )=1。故选A。
2.函数y=e x e x +1 的反函数f −1 (x)是( B )。
A.y=x1−x ; B.y=lnx1−x ; C.y=1−xx ; D.y=ln1−xx ;
解:∵y=e x e x +1 y(e x +1)=e x (y−1)e x =−ye x =11−y ln(e x )=ln(11−y )x=ln(11−y )f −1 (x)=ln(x1−x )∴y=ln(x1−x ),选B。
(二) 填空题
1.函数f(x)=log(1−x)1−|x| 的定义域是( (−∞,−1)⋃(−1,1) )。
解:1−|x|≠0且1−x>0即x≠±1且x<1,所以f(x)的定义域是(−∞,−1)⋃(−1,1)。
2.若f(2 x −1)=x+1,则f(x)= log 2 (x+1)+1 − − − − − − − − − − − − − − 。
解:令y=2 x −1,则x=log 2 (y+1)f(y)=log 2 (y+1)+1∴f(x)=log 2 (x+1)+1
3.若f(x)=x 2 ,φ(x)=e x ,则f(φ(x))= e 2x − − − − − 。
解:f(φ(x))=(φ(x)) 2 =(e x ) 2 =e 2x 。