计算阶乘末尾0的个数及二进制表示中最低位1的位置-优快云博客

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题目一：

1、给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。

首先考虑，如果N！= K×10^M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。

根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。程序如下：

#include <iostream>
using namespace std;

bool invaluedInput = false;

int TheNumberOfTailZero(int n)
{
	if(n <= 0)
	{
		invaluedInput = true;
		return -1;
	}

	invaluedInput = false;

	int count = 0;
	int i = 1;
	int tmp;
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		tmp = i;
		//N！=（2^x）×（3^y）×（5^z），要计算5的幂次z，就要计算每个数对5的幂次的贡献。
		while(tmp)
		{
			if(tmp%5 == 0)
			{
				count++;
				tmp /= 5;
			}
			else
				break;
		}
	}
	return count;
}

//计算阶乘的函数
bool JieCheng(int n,unsigned int &jieCheng)
{
	if(n <= 0)
		return false;
	int i = 1;
	jieCheng = 1;
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		jieCheng *= i;
	}
	return true;
}

int main()
{
	//int n = 10;
	//当n为15时，15!=1307674368000，这时n!已经溢出了
	int n = 15;
	unsigned int jieCheng = 1;
	JieCheng(n,jieCheng);
	cout<<n<<"!="<<jieCheng<<endl;
	cout<<"The tail number of "<<n<<"! is "<<TheNumberOfTailZero(n)<<endl;
}

所以给定一个整数N，计算N的阶乘(N！)末尾有多少个0,只需要计算表达式N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）中z的值即可。
如果采用先求出N！再来求取末尾0的个数，一来计算N!很容易溢出，二来只为求末尾0的个数而去求N!的值也很不划算。

题目二：

求N！的二进制表示中最低位1的位置。

问题2要求的是N！的二进制表示中最低位1的位置。给定一个整数N，求N!二进制表示的最低位1在第几位？例如：给定N = 3，N！= 6，那么N！的二进制表示（1 010）的最低位1在第二位。

为了得到更好的解法，首先要对题目进行一下转化。

首先来看一下一个二进制数除以2的计算过程和结果是怎样的。

把一个二进制数除以2，实际过程如下：

判断最后一个二进制位是否为0，若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值（右移相当于除2，左移相当于乘2）；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除。

所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数+1。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。实际上N！都为偶数，因为质因数里面都有一个2，除了1以外，因为1的阶乘是1，是个奇数，其他数的阶乘都是偶数。

所以现在的问题转化为求表达式N！=（2^x）×（3^y）×（5^z）中x的值，N！的二进制表示中最低位1的位置即为x+1的位置。

程序如下：

#include <iostream>
using namespace std;

bool invaluedInput = false;

int ThePositionOfFirst1(int n)
{
	if(n <= 0)
	{
		invaluedInput = true;
		return -1;
	}

	invaluedInput = false;
	
	int count = 0;
	int i = 1;
	int tmp;
	for(i=1; i<=n; i++)
	{
		tmp = i;
		while(tmp)
		{
			/*tmp&0x01==0等价于tmp%2==0，tmp = tmp >> 1等价于tmp /= 2*/
			if((tmp&0x01) == 0)
			{
				count++;
				tmp = tmp >> 1;
			}
			else
				break;
		}
	}
	return count+1;
}

int main()
{
	int n = 4;
	cout<<"The first Position1 is "<<ThePositionOfFirst1(n)<<endl;
}

在上述程序中tmp%2==0写成了tmp&0x01==0，tmp /= 2写成了tmp = tmp >> 1，是因为位运算比取模运算和除法运算高效。