[CODE【VS】]江哥的DP题d

原题

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江哥解题报告：

因为输入只有一个数，所以首先想到的是打表找规律

int dp(){
    int i,j;
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(i=1;i<=n;i++){
        f[i]=1;
        for(j=1;j<i;j++)
            if(a[i]<a[j] && f[j]+1>f[i])
                f[i]=f[j]+1;
    }
    long long sum=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        sum=max(sum,f[i]);
    return sum;
}
void dfs(int i){
    for(int j=n;j>=1;j--)
        if(!b[j]){
            b[j]=1;a[i]=j;
            if(i<n)dfs(i+1);
            else if(dp()<=2){
                ans++;ans%=Mod;
            }
            b[j]=0;
        }
}

根据这样一段代码，可以发现如下规律：

• 1 1
• 2 2
• 3 5
• 4 14
• 5 42
  显然，这就是卡特兰数，根据公式可得：

设f(i)为n为i的答案，那么
f(i)=(f(i-1)*(4*i-2)/(i+1))%Mod;

但是，当你信誓旦旦地交上去使，你会发现只有30分，因为在除法意义下是没有取%的，所以要写一段高精度代码乘逆元，当然也有更简单的方法：

以下有syc  dalao编写
拿到样例之后，手玩一遍，列一个表：

 - 1
 - 1 1
 - 1 2 2
 - 1 3 5 5
 - ...
第i行有i个数，表示以j开头的符合要求的排列有a(i,j)个
仔细一看：f(i,j)=f(i,j-1)+f(i-1,j)，这样就巧妙的避开了除法，避开了高精度和逆元，只需要取一个Mod

实现如下：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
const int Mod=1000000007;
int f[1010][1010];
int main(){ 
    freopen("d.in","r",stdin);
    freopen("d.out","w",stdout);
    int i,j,k,n,m;
    scanf("%d",&n);
    f[1][1]=1;
    for(i=2;i<=n+1;i++)
        for(j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j]+f[i][j-1])%Mod;
    printf("%d\n",f[n+1][n+1]);
    return 0;
}